为什么有理数是不完备的？ 第1页
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按题，先举例.
1 有理数作为无理数列的极限
设我们讨论的有理数为 ，不妨设 。令 ，考察数列 。令
其中 表示不超过 的最大整数， 。首先，我们证明 是无理数。显然， 是无理数当且仅当 为无理数。考虑反证法。因为 ，故可设 两边平方并整理得
这说明
从 到 的过程可以无限重复，且每次分母都变成了更小的正整数。这与正整数集有下界矛盾。
故 ，从而 。而
前一个不等号是显然的，后一个不等号是由 的Maclaurin展开式放缩得到的。故易见 收敛于 。
2 无理数作为有理数列的极限
设我们讨论的无理数为 。考察数列
按定义易得
故
由迫敛准则知
如果从序列的角度来考察 的完备性（这里的 是指按实数的一般定义构造出的所有同构的有序域的全体），那么完备性可以表述成 中有界序列均有收敛子列，有理数则不具备这样的性质。事实上，Dedekind等数学家正是在有理数的基础上，通过“弥补”有理数的此类缺陷构造出的实数。
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