按题,先举例.
1 有理数作为无理数列的极限
设我们讨论的有理数为 ,不妨设 。令 ,考察数列 。令
其中 表示不超过 的最大整数, 。首先,我们证明 是无理数。显然, 是无理数当且仅当 为无理数。考虑反证法。因为 ,故可设 两边平方并整理得
这说明
从 到 的过程可以无限重复,且每次分母都变成了更小的正整数。这与正整数集有下界矛盾。
故 ,从而 。而
前一个不等号是显然的,后一个不等号是由 的Maclaurin展开式放缩得到的。故易见 收敛于 。
2 无理数作为有理数列的极限
设我们讨论的无理数为 。考察数列
按定义易得
故
由迫敛准则知
如果从序列的角度来考察 的完备性(这里的 是指按实数的一般定义构造出的所有同构的有序域的全体),那么完备性可以表述成 中有界序列均有收敛子列,有理数则不具备这样的性质。事实上,Dedekind等数学家正是在有理数的基础上,通过“弥补”有理数的此类缺陷构造出的实数。