为什么有理数是不完备的？ 第1页
1
qi-xuan-80-61 网友的相关建议:
按题，先举例.
1 有理数作为无理数列的极限
设我们讨论的有理数为 ，不妨设 。令 ，考察数列 。令
其中 表示不超过 的最大整数， 。首先，我们证明 是无理数。显然， 是无理数当且仅当 为无理数。考虑反证法。因为 ，故可设 两边平方并整理得
这说明
从 到 的过程可以无限重复，且每次分母都变成了更小的正整数。这与正整数集有下界矛盾。
故 ，从而 。而
前一个不等号是显然的，后一个不等号是由 的Maclaurin展开式放缩得到的。故易见 收敛于 。
2 无理数作为有理数列的极限
设我们讨论的无理数为 。考察数列
按定义易得
故
由迫敛准则知
如果从序列的角度来考察 的完备性（这里的 是指按实数的一般定义构造出的所有同构的有序域的全体），那么完备性可以表述成 中有界序列均有收敛子列，有理数则不具备这样的性质。事实上，Dedekind等数学家正是在有理数的基础上，通过“弥补”有理数的此类缺陷构造出的实数。
1
相关话题
lnx 的 0.5 阶导数是什么？怎样证明 0.999… = 1？
常微分方程解对初值的连续依赖性，书上都是定理证明，能否举个最简的方程来说明下，它的解是怎么依赖初值的？
请问这个奇怪的极限怎么求?
不知道想下面描述的一样理解数列极限和收敛对不对，有什么需要改进的地方吗？
如何证明这个数列$$a_{n}=sum_{i=1}^{n}(-1)^{⌊ix⌋}$$无界？
微积分学教程是否适合工科学生提高数学水平？
数学有什么意义？数学中的一切都是人类自己编造的吗？
为什么函数的解被称为「根」？
如何评价中科大2019-2020学年数学分析A1期末考试？
前一个讨论
如何通俗解释伯努利原理？
下一个讨论
不定积分中dx和定积分的含义是什么？
相关的话题
如何证明下面的积分不等式？维数可以是虚数吗？
怎么解决这个积分题目？
如何解出这个定积分?
请问该如何证明？
请问怎样去证明？
如何证明以下关于ζ(2n)的式子？
有没有目前不知道是否收敛的级数?
学数学分析（高级微积分）需要看哪些书?
从小到大都知道，学习语文是需要有写作能力的，学习数学的时候，也需要写作能力吗？是不是跟写作能力有关？
如何反对同学这样解释无理数和有理数一样多？
傅里叶级数的系数是怎么得到的？
如何证明以下等式?
数学分析中最重要的定理是哪个？为什么？
极限为0的函数为什么要单独命名为无穷小？有哪里特殊了？
有没有可能把 π 或 e 等无理数当成 1，这样就能使许多定理显而易见？
连续的周期函数都有最小正周期吗？
泊松换元公式有直接用二重积分换元而不变为曲面积分的方法吗？
除了Weierstrass函数，还有哪些处处连续处处不可导的实变函数的具体例子？
数学分析上的定理证明过程需要掌握到什么程度？
如何证明数列sinn^2发散？
为什么Abel定理是研究幂级数收敛性的基本定理?
logz是否是全纯的？
如何通俗地解释混沌理论（chaos）和分岔理论（bifurcation）？
关于这个函数项级数，有没有一些研究成果？
关于这个函数项级数，有没有一些研究成果？
用Mathematica计算定积分，结果出现虚数是什么原因？
数学系大二如何弥补大一的差基础？
请问这到微积分证明题题怎么证?？
如何确定下面三角恒等式中的系数？