这个实变函数题怎么分析）？ 第1页

我打算好好回答一下这个问题，然后再做一些额外的补充说明：

1，设 是紧集， 是闭集，则 是闭集。

证明：设 是 中的任意序列，其中 , 且

, 我们去证明 .

因为 是紧集，所以存在子列 收敛，设 , 可知， .

于是 , 由于 是闭集，所以有

. 从而得到 .

2, 题主的问题， 都是闭集，则 是 集，从而可测。

证明：设 , 其中每个 都是紧集，于是

是可数个闭集的并。

当然也可以用评论区里寨森Lambda-CDM指出的用紧集的连续像还是紧集的方法去证明。

3， Erdos 和 Stone 在 1970 年 举出过一个例子，说明存在一个 集 和一个紧集 ，使得

不再是一个 Borel 集。参考

[ES] P. ERDOS and A. H. STONE ， On the sum of two Borel sets, Proc. Amtr. Math. Soc, 1970, 25(2), 304- 306.

但是我们仍然可以证明上面第3条里的 是可测集，因为它是解析集。

注：Borel 集的连续像（或者等价的，平面Borel集的投影集）称为是解析集。

利用描述集合论里的一些方法，可以证明解析集都是可测集，满足贝尔性质，具有完备集性质，等等。 见ZS Chen 这篇回答:

哪些数学命题曾经长期被误认为是正确的，但之后被严格证明是错的？ - ZS Chen的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20903564/answer/1782182373

更详细的可参考 [GTM156].

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4， 如果 都是 Borel 集，那么 是个解析集, 从而 必是个可测集。

此处，如评论区里寨森Lambda-CDM 指出的， 加法 是 到 的连续映射，

是 上的 Borel 集，于是知 是 Borel集的连续像。

5，但是，如果 都是可测集，那么不能推出 是个可测集。

事实上，利用 Hamel 基， Sierpinski 就构造出了两个零测集 ， 但 却是不可测的。

参考：Kharazishvili A . Nonmeasurable Sets and Functions, Volume 195[J]. 2004.