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有没有一个函数求导后幂会变高? 第1页

  

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假设某函数导数比它自身高一次幂,则我们可以建立微分方程:

解上面这个方程:

使用分离变量法:

可以设想,e的1/2对结果影响不大,所以我们简化一下,可以得到函数

其导数 为

可以看到,这个函数在忽略掉右边 后是x的零次幂(常数C);

求导后同样忽略掉右边后是x的1次幂( ),x的次数变高了。

同时,我们可以推广到一般情况: ,(n>1)

其导数为 ,都会比y的幂次数高n-1次。


最后我们再回看一下这个微分方程:

当n>0时,说明求导后是升幂的;当n=0时求导后是等幂的;当n<0时是求导后降幂的。

这个微分方程的解为

明显的,当n=0时,即 ,就是我们最常见的指数函数,导数等于它自身,这时升幂或降幂的分界线。

然而这个解有个孤点n=-1,这时e的指数项分母为零,无意义。这时我们单独对这个点进行求解:

这个正好就是我们的多项式了。




  

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