有没有一个函数求导后幂会变高？ 第1页
1
hua-liu-61 网友的相关建议:
假设某函数导数比它自身高一次幂，则我们可以建立微分方程:
解上面这个方程：
使用分离变量法：
即
可以设想，e的1/2对结果影响不大，所以我们简化一下，可以得到函数
其导数 为
可以看到，这个函数在忽略掉右边 后是x的零次幂(常数C)；
求导后同样忽略掉右边后是x的1次幂（ ），x的次数变高了。
同时，我们可以推广到一般情况: ，(n>1)
其导数为 ，都会比y的幂次数高n-1次。
最后我们再回看一下这个微分方程：
当n>0时，说明求导后是升幂的;当n=0时求导后是等幂的；当n<0时是求导后降幂的。
这个微分方程的解为
明显的，当n=0时，即 ，就是我们最常见的指数函数，导数等于它自身，这时升幂或降幂的分界线。
然而这个解有个孤点n=-1，这时e的指数项分母为零，无意义。这时我们单独对这个点进行求解：
这个正好就是我们的多项式了。
1
相关话题
如何处理这类三个连乘的积分呢？请问数学上有哪些令人赞叹的，简洁的名言或者结论？
物理或化学方程为什么往往是偏微分方程？
这个猜实数的游戏有没有必胜策略?
高中毕业半年了，还是不会解方程。刚刚还去抖音搜了一下解方程，看了几个视频还是学不会？是不是脑子有问题？
微积分之后，现代数学有哪些新的革命性工具？近年来物理理论没有突破，是不是微积分不够用了？
如何对幼儿进行数学（不是算数）启蒙？
请问应如何证明？
做计算PhD的研究是否如丁仲礼所说的那么不靠谱？
数学家下围棋，水平一定会很高吧？
前一个讨论
南北朝时没有南渡的北方士族是怎么活下来的？
下一个讨论
如何评价古代酷吏张汤？
相关的话题
这个式子对吗？若是，具体步骤是什么？∑ (1/n) 为何不收敛？
两个有理数之间一定存在一个无理数吗？
这个不可测集的外侧度是多少？
为什么这个级数会如此接近整数?
这个全椭圆积分和beta函数的关系该怎么证明？
有哪些式子行列式答案等于520？
为什么规定 0 的阶乘为 1？
大佬们这个题怎么证呀？
在高考时文科生也考数学合理吗？
既然数学研究不需要在设备、资源上花多少钱，为什么我国的数学水平在国际上也是凉凉的？
为什么对球的体积公式求导就是球的面积公式?
请问能把一个正方形划分成有限个四边形， 每个四边形都是凹四边形吗？
如何证明：A*=A,则A的特征根为实数？
在当下，数学家是否没有物理学家、化学家重要？
2021年5月14日，著名数学家王元院士去世，他对中国数学界有哪些贡献？
有哪些有趣的数学史？
为什么多项式的根是系数的连续函数？
是否能通俗的介绍一下什么叫协变微分？
底下那步怎么转化的啊 是忽略了吗?
零测集的子集是否可测？
为什么nn的较大问题是会陷入局部最优时，不选用凸函数作为激活函数？
有哪些具有特殊性质的数字？
满足f(z+1)=2f(z),f(0)=1的解析函数唯一吗？
你对贝叶斯统计都有怎样的理解？
祖冲之的割圆术求圆周率是否过于繁琐？
为什么基础数学学科很少出现论文大量造假或者导师压榨学生促使其跳楼之类的事件？
学什么数学，为什么不直接学逻辑，为什么不把数学改成逻辑？
如果我的将来梦想是取消数学这门学科，我该怎么做，或者谁可以帮忙实现它？
费马大定理有初等证明吗？百度文库上有的是4页有的是2页，但看着不靠铺。