有哪些神奇的数学巧合？ 第1页

2∧（7/12）≈3/2

说出来你可能不信，我们每天常听到的音乐之所以能发展到现在的水平，就是由于数学上这个近似成立的巧合。

我曾经在别的问题的回答里对这个事实进行解释和描述，但是这次我想尽量把这件事情说得更加通俗易懂，希望完全没接触过乐理的人也可以看懂。为了解释这个事情我需要做大量的铺垫，请耐心阅读。

首先我们明确一下声音的三要素：音色、音高、响度。

中学的物理知识就告诉我们，物体发声是因为振动，声音的响度取决于振幅，音高取决于振动的频率，而音色则取决于振动的波形（波形不同是各阶泛音响度不同叠加之后的结果，类似于傅里叶级数，这里不细说）

其次我们明确一下构成音乐的三要素：旋律、和声、节奏

旋律应该是普通人最熟悉的了，流行歌曲中由歌手演唱的就是旋律。

节奏相信大家也不陌生，说白了，节奏就是规定了每一个音持续的长度。乐谱的开头我们会将一个特定长度的时间定义为一个“单位时间”，每个单位时间称作“一拍”，然后我们逐一地定义每一个音持续的时间（一拍、两拍、半拍、1.5拍等），这就确定了整首乐曲的节奏。

和声这个概念大概是很多非音乐玩家最不熟悉的，或者说是经常被忽略的。两个或两个以上不同的音同时发出来就叫做和声。钢琴演奏时，两只手弹出的音共同发出来组成了和声。同样的，合唱中不同声部的声音组合到一起也是和声。交响乐中，各种管弦乐器的声音组合在一起是和声。流行歌曲中，钢琴、吉他、人声等声音组合到一起也是和声。和声的作用非常重要，没有和声，乐曲会显得很单薄，有了和声，乐曲就会富有色彩。编曲者可以通过和声的编排来控制乐曲的效果。

说到了和声，那么问题来了：任意两个音搭配组成的和声都是好听的吗？

答案是否定的，否则就不存在“跑调”这一说了。跑调是什么？你唱出来的音高与原唱的音高存在偏差，与伴奏音搭配不良，导致了不谐和感，这就是为什么跑调难听。

早在公元前六世纪，毕达哥拉斯及其学派就提出，宇宙中的谐和来自于完美的数的比例，认为弦长之比为2：1、3：2、4：3这种极简的比例时，两根弦同时振动构成的和声才是谐和的。就是说：两个音振动频率之比为1：2、2：3、3：4，这两个音同会比较融洽、谐和。如果偏离了这个比例，这个和声就会给人不同程度的冲突的感觉。

这其实是给音阶加上了一个限制：音阶里的音，必须存在频率比为1：2、2：3、3：4的音，这样才能满足和声上的要求。

音阶是什么？将所有的音按照从低到高的顺序排成一列，这一列音就叫做音阶。音阶就好比是一个素材库，乐曲里的每一个音都是来自音阶。因此，为了满足和声上的需要，音阶里必须存在频率之比为1：2、2：3、3：4的音。

由于这一层要求，毕达哥拉斯提出来著名的“五度相生律”来确定音阶中各个音的音高。具体操作方法为：以一个特定频率f作为1，每次乘3/2得到下一个音（如果超过2f那就除以2），这样就依次得到了音阶中的所有音。

2019年2月23日更新：

鉴于多位知友询问“4”是怎么来的，于是在此对此部分内容进行补充。五度相生律的推导实际上是双向操作的：以1的频率f为基准，将频率依次乘3/2（如果结果超过2f就除以2），依次得到5、2、6、3、7、#4、#1、#5、#2、#6；以1的频率f为基准，依次将频率除以3/2（如果小于f就再乘2），依次得到4、b7、b3、b6、b2、b5。计算结果表明，五度相生律中#1、b2的频率相近但是并不相同。

虽说这个音阶可以满足和声上的要求，但是它的弊端也是很明显的：这些音并不是“等距”的，也就是说，看似距离相同的相邻两个音，实际上它们的距离并不同，有微小的偏差。即使是这微小的偏差，对音乐的发展也产生了极大的限制。这意味着，一旦乐曲要变调，那么整个音阶中所有音的音高都需要做微小的调整。

这个问题直到十六世纪末十七世纪初才被解决。我国明朝音乐家、律学家朱载堉首次证明了，可以将频率之比为1：2的两个音之间以等比的方式12等分，公比为2∧（1/12），这样就确定了一个音阶中所有的音的音高。这就是著名的十二平均律。

那么问题来了：按照五度相生律原本频率之比为2：3的两个音，现在换成十二平均律后频率比变成1：2∧（7/12）了，以这种无理数等比数列的方式得到的音阶，能保证和声的谐和吗？

神奇的地方就在这里，答案是能，因为数学上的一个很凑巧的事实：

事实上，我们将所有音都列出来，就会发现，十二平均律和五度相生律相差无几。

十二平均律的问世对后世的影响十分巨大，它不仅方便了乐曲的变调，更是使得定音乐器（钢琴，编钟等）的产生成为可能。十二平均律对和声学的发展也有着颠覆性的影响，很多转调、移调的手法都可以归结为十二平均律带来的结果。时至今日，我们听到的几乎所以音乐都是以十二平均律来定音的。然而这么nb的十二平均律背后的原理就是这样的一个数学上的巧合：

2∧（7/12）≈3/2

一弧度的角度值和中和热的数值都是57.3