怎样证明 0.999… = 1？ 第1页

前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。

首先明确指出下面的事实：

无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。

很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：

思路一：

设 a=0.999...
则 10a=9.999...
于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,
因此 a=1.

思路二：

由于 1/3=0.333...,
所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...

思路三：

0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列

的所有项之和.

根据等比数列的求和公式,

但是，需要强调的是，以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。

要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先需要理解从有理数构造实数的办法，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在"无限不循环小数"的直观层面上。

下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。

设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a<b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 Dedekind 分割，简称分割，记为 A/B。

这一定义包含两层意思：

1. 对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；
2. A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。
   

所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：

1. A 有最大数，B 没有最小数；
2. A 没有最大数，B 有最小数；
3. A 没有最大数，B 也没有最小数；
4. A 有最大数，B 也有最小数。

但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a<b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且

因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。

这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：

1. A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：
   
   
2. A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：
   
   
3. A 没有最大数，B也没有最小数。

对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；

对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。

而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:

此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个"空隙"，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个"空隙"。在这个例子中，表示这个"空隙"的无理数就是。

这样，我们就得到了无理数的严格定义：

设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个无理数 c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。

例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。

需要注意的是，符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的。否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c<d。取正整数 n 满足

则 nd-nc>1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc<m<nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是

由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。

从而我们就可以得到实数的严格定义：

由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为实数集。

跟有理数的分割类似，我们可以定义出实数的分割：

设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a<b。则称 A 和 B 构成实数集的一个分割，同样记为 A/B。

实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 Dedekind 分割定理来表示：

设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。

这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。

换句话说，实数集中没有"空隙"，数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。

这样，我们得到了以下结论：

1. 每个有理数集的分割确定唯一一个实数；
2. 两个相同的有理数集的分割所确定的实数一定是相同的；
3. 如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。

在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。

1=0.999...的严格证明：

设 t=0.999...，作两个有理数集的分割


根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。

为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。

若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C。这说明 。下面只需证明。

若有理数 x∈C，则 x<1。不妨设 x>0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为

既然0<x<1，则必有p<q。于是由

可知存在正整数 n 使得

于是

既然 x<t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了。

综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。