微分几何中为什么要用线性函数的观点来看切向量? 第1页

我觉得“万恶之源”是——一阶微分不变性。

全部换元 ，其形式不变：

这意味着 不依赖于局部坐标的选取。当限制在流形某点 上讨论，以上的偏导都是常数，微分 在该点处被线性表示，它告诉我们沿标架方向 上的增量速率。几何上看，局部坐标的改变本就是切空间 从自己到自己的变换（切平面还是那个切平面），线性函数沿着固定方向的增长速率没变，只不过是换了新的标记。

上文我通过隐函数定理去理解梯度和等势线的正交关系。每一个光滑函数 都存在水平集 （也许是空集），其实就是所谓“等高线”，与等高线正交的方向恰是函数的梯度方向 ，即函数增长速率最快的地方。而沿其他方向的增长速率则是梯度在该方向的投影。梯度就是不折不扣的切向量。

从这个观点加以抽象到一般流形，相信是很自然的事情。当然由于度量和联络的问题，梯度本身在黎曼几何中有更一般的定义：

但是其思想仍然源于欧氏空间。

我是从余切空间的角度谈切空间，确实是本末倒置。但是当引入黎曼度量的时候，以上讨论是有意义的，梯度场也确实称为向量场。下面是《Morse Theory》中关于梯度的定义：

余切空间和切空间本就是对偶关系，地位上是平等的，我觉得从“余”的角度看，也许更“新鲜”吧。在几何中有一个默契，据说是陈省身所坚持的，就是“余”的角度更方便。而且我是从最基本的全微分、隐函数定理等基本微积分的内容出发，算是一个比较自然的过度。