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能将三角形面积分为两块面积比值是 k 的所有直线形成的包络线是什么样的？第1页

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思路

仿射变换一个基本的性质——保持面积之比不变。利用这个性质，我们可以先在直角三角形中探讨这个问题，最后利用仿射变换将其推广到一般三角形中。

直角三角形的情况

如图建系，，

则

则两三角形面积之比为

即

其中，而与题目中的关系为：

它们是很容易转换的。现在让变动起来，显然与满足反比例关系。

与的运动合成点的运动，由反比例函数的知识，点在一个双曲线的一支上运动。不过这离我们所求的仍有一段距离：我们想知道的是由运动所包络而成的曲线。注意到，是双曲线上过点的切线。所以是平移的结果：

平移常数、可以通过初始位置而待定；至于，这个通过简单的斜率计算可得：

当然，我只讨论了直线过与的情况，其余情况类似.

一般三角形的情况

按照我们的计划，我们最后只要观察在仿射变换下的像是一个什么样的曲线就可以了。

定义仿射变换：

不失一般性，这个仿射变换之所以这样定义，是希望能保持轴不变，并且平移变换是不用考虑的：

即

带入到中，

整理得

不考虑平移所带来的项，则函数实为如下形式

此为对勾函数曲线，即双曲线。

结论

所以最后在三角形内形成的曲线应该是由三条双曲线拼合而成。效果图我之后补充。

       ##输入  #边长向量 ab=c(1,0) ac=c(2,1) bc=ac-ab #角度(可以通过内积计算，但是需要判断钝锐角，所以索性自己输入) A=atan(0.5) B=pi-atan(1) C=pi-A-B #密度 n=15    #画出三角形 x=c(0,ab[1],ac[1]) y=c(0,ab[2],ac[2]) plot(x,y,type='l') segments(0, 0, ac[1], ac[2], col= 'black')   #模长 ml<-function(u) {     sqrt(sum(u*u)) } #面积 S=det(matrix(c(ab,ac),2))/2 #中点 AB=ab/2 BC=(ab+ac)/2 CA=ac/2  #开口朝向a边的双曲线 for(i in 0:n) {     K=S/sin(A)     d=i/n/2*ml(ab)     x=c(AB[1]+d,AB[2])     l=K/ml(x)     y=c(l*ac/ml(ac),0)     segments(x[1], x[2], y[1], y[2], col= 'red')    } #开口朝向b边的双曲线 for(i in 0:n) {     K=S/sin(B)     d=i/n/2     x=c(BC[1]+d,BC[2]-tan(B)*d)     l=K/x[2]*-cos(B)     y=c(ml(ab)-l,0)     segments(x[1], x[2] , y[1], y[2], col= 'red')    } #开口朝向c边的双曲线 for(i in 0:n) {     K=S/sin(C)     d=i/n     x=c(d,d*tan(A))     z=ml(ac-x)     l=K/z     y=ab+(ml(bc)-l)*bc/ml(bc)     segments(x[1], x[2] , y[1], y[2], col= 'red')    }