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给定曲率下界,平面上什么曲线所围面积最大? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

对于平面上的光滑正则简单闭合曲线,如果曲率存在正的下界,那么该曲线围成的面积存在上界且在圆处取到。

【附注】这里光滑要求每一点切向量的导数 存在,从而每一点可以定义曲率。

【证明】正则曲线可以被重新参数化成unit speed。我们有:

由于曲率存在正的下界,所以恒有 。根据达布定理, 恒为正或恒为负。不妨设 恒为正,此时 单调递增(几何上对应着切向量逆时针旋转)。

由于是正则简单闭合曲线,所以卷绕数[1]是1,故

设曲率下界为 ,曲线长度为 ,则有

根据等周不等式,

等号成立当且仅当曲线是圆。

【注意】光滑正则的条件是不可或缺。在微分几何中,我们只对光滑正则曲线定义曲率(因为曲率的定义是 ,光滑和正则分别代表 存在与 )。

对于分段光滑正则曲线,在接合处曲率未必存在。但如果变通一下,若接合处两边曲率的极限存在且相等,则定义这个极限值为接合处的曲率。这样就把曲率的含义给扩大了。在这个意义下,原命题将不再成立,反例如下:

图中绿色的曲线是由若干半径相等的圆的一部分(半圆、1/4圆)组成的。因此曲率肯定是处处相等的。注意到紫色部分P是可以不断往下复制的(不断往下复制后很明显还能接上),因此绿色曲线面积就可以无限的大,就没有上界了。

注意这个曲线虽然是分段光滑正则的,但不可能全局光滑正则。这是因为,假设该曲线全局光滑正则,那么可以被重新参数化成unit-speed,但是在点A处切向量的导数 会发生突变(从模长为1方向向左,突变到模长为1方向向右),导致不光滑。

参考

  1. ^ 注意,这里的“卷绕数”是指turning number(或者rotation index),而不是指winding number(尽管正则简单闭合曲线的winding number=turning number)。一般而言,正则简单闭合曲线的turning number=±1,证明详见Do Carmo "Differential Geometry of Curves and Surfaces", 5-7, Theorem 2. 这里由于是逆时针的,所以取+1



  

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