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微积分中的隐函数定理为什么那么重要? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

前一个哥们 @智商税 回答得很棒了。我能只从几何的角度做一点补充。

在光滑流形(欧式空间是最简单的光滑流形)中,当一个映射 在任意一点 都满足:

  • 若 时,我们称 是浸没
  • 若 时,我们称 是浸入

其中 。

有一个关键的定理:

若 既是浸没又是浸入,当且仅当 是一个局部微分同胚

局部微分同胚,也就意味着局部存在 ,同时如下定理也成立:

若 可逆,则在一连通邻域内, 是一个微分同胚。

在视野更宽广的秩定理 中,如果映射有不变的秩 ,那么一定可以找到好的地图坐标 ,使得 在其上的表示为简单的形式:

也就是说,任意常秩的光滑映射都可以视为简单的“投影”(或者说是典范映射)

所以,隐函数定理有着非常深厚的几何背景。

另外,还有个更浅显易懂的科普视频




  

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