微积分中的隐函数定理为什么那么重要？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
前一个哥们 @智商税 回答得很棒了。我能只从几何的角度做一点补充。
在光滑流形（欧式空间是最简单的光滑流形）中，当一个映射 在任意一点 都满足：
- 若 时，我们称 是浸没 ，
- 若 时，我们称 是浸入 ，
其中 。
有一个关键的定理：
若 既是浸没又是浸入，当且仅当 是一个局部微分同胚 。
局部微分同胚，也就意味着局部存在 ，同时如下定理也成立：
若 可逆，则在一连通邻域内， 是一个微分同胚。
在视野更宽广的秩定理 中，如果映射有不变的秩 ，那么一定可以找到好的地图坐标 ，使得 在其上的表示为简单的形式：
也就是说，任意常秩的光滑映射都可以视为简单的“投影”（或者说是典范映射）。
所以，隐函数定理有着非常深厚的几何背景。
另外，还有个更浅显易懂的科普视频
1
相关话题
使用泰勒公式进行估算时，在不同点展开的区别和意义是啥?怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？
如何看待 bilibili up主 Happylee 对 0.999...≠1 的证明？
这道题怎么做?不懂？
复变函数中，z=0是函数f(z)=1/√z 的什么奇点，留数怎么算？
高数问题求解，不懂为什么做法不可行？
拓扑学（点集拓扑和代数拓扑基础）和范畴论有什么双语教材？
李导数与协变导数有什么联系？
如何解决这道函数题？
如何计算下面无穷级数的值？
相关的话题
关于Gamma函数的极限？这个一元三次方程可以得到以下式子吗，属于因式分解吗？
请问 这道微积分题怎么做？
你最喜欢的公式/定理是？
线性映射为什么那么重要？
x^x 的导数怎么算？
解微分方程为什么会出现个 e？
拓扑领域有哪些美妙的工作？
在极限和导数证明中引入无穷小α的意义是什么？
实变、泛函、抽代、拓扑，哪几门对于非纯数专业更加有用？
请问这个级数的和怎么求？跟Wallis有联系吗？
第五题如何证明呢？
(1+e^((-2k-1)pi)) k 从0到无穷的连乘怎么算？
这个数列有界如何证明？
为什么 A 为 n 阶满秩方阵时，Ax＝0 只有零解？
这个定积分怎么写?
为什么说连续映射是一个拓扑概念？？
曲线 cosx + cosy = cos(x + y) 有什么性质？
这个用傅立叶级数怎么做?
万有引力定律中，为什么由 F∝m、F∝M 可以推出 F∝Mm？如何用数学方法证明？
如何看待 bilibili up主 Happylee 对 0.999...≠1 的证明？
如何证明该级数收敛?
如何求圆周上随机 n 点构成的 n 边凸包的平均面积？
请问高等代数判断多项式可约性的这一题要怎么入手？
以下极限是否存在？
这个题如何证?
这个命题是错的吗？
为什么高中不直接开设高等数学、线性代数、概率统计这几门课呢？
想问问数学大神们几个问题，学习数学的兴趣来源是什么？数学在生活中的具体应用？
怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？