前一个哥们 @智商税 回答得很棒了。我能只从几何的角度做一点补充。
在光滑流形(欧式空间是最简单的光滑流形)中,当一个映射 在任意一点 都满足:
其中 。
有一个关键的定理:
若 既是浸没又是浸入,当且仅当 是一个局部微分同胚 。
局部微分同胚,也就意味着局部存在 ,同时如下定理也成立:
若 可逆,则在一连通邻域内, 是一个微分同胚。
在视野更宽广的秩定理 中,如果映射有不变的秩 ,那么一定可以找到好的地图坐标 ,使得 在其上的表示为简单的形式:
也就是说,任意常秩的光滑映射都可以视为简单的“投影”(或者说是典范映射)。
所以,隐函数定理有着非常深厚的几何背景。
另外,还有个更浅显易懂的科普视频