微积分中的隐函数定理为什么那么重要？ 第1页
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liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
前一个哥们 @智商税 回答得很棒了。我能只从几何的角度做一点补充。
在光滑流形（欧式空间是最简单的光滑流形）中，当一个映射 在任意一点 都满足：
- 若 时，我们称 是浸没 ，
- 若 时，我们称 是浸入 ，
其中 。
有一个关键的定理：
若 既是浸没又是浸入，当且仅当 是一个局部微分同胚 。
局部微分同胚，也就意味着局部存在 ，同时如下定理也成立：
若 可逆，则在一连通邻域内， 是一个微分同胚。
在视野更宽广的秩定理 中，如果映射有不变的秩 ，那么一定可以找到好的地图坐标 ，使得 在其上的表示为简单的形式：
也就是说，任意常秩的光滑映射都可以视为简单的“投影”（或者说是典范映射）。
所以，隐函数定理有着非常深厚的几何背景。
另外，还有个更浅显易懂的科普视频
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