如果换一种几何，圆周率的值会变么？ 第1页

谢邀。

就讨论最简单的情况吧，比如说球面上的几何。

首先，我们要回答两个很基本的问题：

• 球面上的A、B两点间的距离如何定义？

答：过A、B的大圆劣弧。

• 球面上的圆怎么定义？

答：球面上，到定点等于定长的点的集合。

PS：其实还是圆。只是这个时候，定点——球面上的一点、定长——球面大圆上的弧长。

有了上面的铺垫，就可以考虑球面上的“圆周率”的问题了。

如图，A、B在球面同一个大圆上，劣弧AB是球面圆的“直径”D，“圆心”即是弧中点。设球半径为1，∠AOB = 2θ，即D = 2θ，再求球面圆周长C = 2π sinθ，那么两者之比即为“圆周率”

可见，球面上的圆周率是关于θ的函数，并不是一个定值。

不过，考虑极限

可见，当 θ 充分小的时候，球上的圆周率充分靠近 π ，这说明球上的一个微小邻域内是平坦的，这也符合我们的直觉。

当 θ = π/2 时，也就是 2θ = π 时，球面上的“圆周率”达到最小为2，

最后，我再问一个比较严谨的问题：上面计算球面圆周长C利用的是——在旧的距离意义下的“老公式”，但是在新定义的距离之下，对于同一段曲线长，计算的结果仍然与原先一样吗？

答：如果弧微分的定义不变，即 ds = √(dx² + dy²) ，在微分几何中一个很基本的结论：弧长只取决于起点和终点，与参数的选择无关。