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对于任意一个拓扑流形而言,一定能够给它赋予一个微分结构吗? 第1页

  

user avatar   alex-70-22-31 网友的相关建议: 
      

不能。可以用四維流形拓樸著名的Donaldson's Theorem來幫助構作反例。Donaldson's Theorem 斷言,對任何四維緊緻單連通微分流行 ,如果它的intersection form

是definite的,那麼它一定可以diagonalized。Freedman構作了一個稱之為 -流形的反例。這個四維緊緻單連通拓撲流形的intersection form是在一個八維晶格(稱之為 -lattice,和 李群的root lattice 有關)的對稱正定二次型,但是不能diagonalized。所以根據Donaldson's Theorem, -流形不可能是微分流形。

Donaldson's Theorem的證明涉及Seiberg-Witten invariant,是一個極為深刻硬核的結果。其實解釋為何 -流形不是微分流形可以用Rokhlin‘s Theorem這個稍微‘elementary'的定理。它是Atiyah-Singer Index Theorem 的特例:對於任何四維緊緻spin微分流形 ,它的intersection form的signature一定可以被16整除。用Atiyah-Singer可以證明這個signature等於 乘以 的Dirac operator的指標,而剛好這個Dirac operator的kernel和cokernel擁有quaternionic structure,所以它們的複維數(從而Dirac operator的指標)是偶數。這就是Rokhlin's Theorem證明的梗概。

回到我們的 -流形。已知它是spin的(有關如何判斷一般拓撲流形(可能不能定義切叢)是否spin可參考

CW复形上的示性类如何定义和计算? - Alex的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/481719162/answer/2078636482)。上面提到它的intersection form是八維晶格上的正定二次型,所以signature是8,不能被16整除。根據Rokhlin's Theorem我們又一次得出 -流形不可能是微分流形的結論。




  

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