一旦确定公理体系,一切辅助线就已经被蕴含。也就说辅助线本来就存在,只是没画出来。当然不是所有辅助线都有意义,我们只需要选择画出其中最关键的。
目前中学教学基本上略过了尺规作图的环节,这对于几何证明——尤其涉及添加辅助线的问题,严重缺失了其灵感来源。一般在审题的时候,经过尺规作图训练的学生,会思考题图画出来的过程,这个过程可以体现出条件之间的相互决定的关系,厘清这条逻辑链,做题自然会有头绪。
另外,几何辅助线的灵感来源于运动、变换的高观点——克莱因的几何变换群。具体来说:
辅助线其实就是在完善以上的运动过程,而运动过程中某些不变量是关键,例如边长、角度、平行等几何关系。
高中几何学对吧。
这个程度的几何学还没脱离欧几里得的那点东西,而欧几里得给出了几何学公设就有“两点之间可以画一条直线”“一点为圆心可以任意半径画圆”“线段可以延长”。
也就是说,辅助线并不是随意画的,而是根据几何学基本公设画出来的,当然可以解决几何学问题