请问主曲率为常数的曲面只有平面，球面和圆柱面吗？ 第1页

考虑曲面 为 中完备曲面的情况。

主曲率为常数的话，高斯曲率和平均曲率都为常数。

正曲率完备曲面为闭曲面，所以主曲率同号且非负的情况只有球面。

如果都为0，那么 是平面。

剩下的情况就是，在每一点处有不同号主曲率的情况。

当两个主曲率均非零时，曲面有负常曲率，但这样的完备曲面是不可能等距嵌入到 的，因此排除。证明可以看这里

当其中一个主曲率为零，另一个不为零时，主曲率为零的方向在曲面上构成一个处处非零的向量场。它的积分曲线都是渐近线。

任取 ，曲面上存在其一个邻域，其参数化 满足 为主曲率方向。令后者满足 ，即为渐进方向。向量场 经过 的积分曲线是经过 的唯一渐进线。

等式左边是渐进线的测地曲率，等式右边 为曲线在参数域中的参数化， 为其切向与 的夹角，此时为

于是算得

在这个参数化下，由Mainardi-Codazzi方程有

由于 ，可得 ，因此渐进线测地曲率为零。同时显然其法曲率为零，因此作为 中空间曲线，它的曲率为零，也即局部上看是直线。于是可以看到，整条渐进线就是一条直线。

同理，主曲率非零的方向构成曲面上的向量场，它的积分曲线为测地线，并且法曲率为常数，因此，为常曲率曲线，并且挠率为零，因此为圆周。

在 上，过 有圆周 ，其上任意一点，在垂直于 所确定的平面的方向上，整条直线都在 中，因此 的确为圆柱。

综上，主曲率为常数的曲面只有平面，球面和圆柱面。