爱因斯坦场方程是怎么推导出来的？ 第1页

爱因斯坦方程可以通过拉格朗日量导出。个人觉得这是最自然的推法。

不太严谨的说，因为我们觉得拉格朗日量应该是一个反应曲率的纯量，我们可以猜测拉格朗日密度的形式是数量曲率：

接下来要把他带入作用量中。然而这时有一个问题，那就是作用量中的体积元随着规度（场）而变化。为此我们需要把这部分也算入其中。体积元为 ，于是我们吧其中的规度部分也带入作用量中：

接下来自然变分后得到

其中第一项是全微分，是边界项，为0。第二项则得到爱意斯坦张量

于是我们得到真空中的运动方程

该方法也可以求得有其他场时的解。只需要带入其他场的拉格朗日量（）便可以得到右侧的动能张量项。

描述广义相对论的场方程一定是这么个形式： ，其中左边 叫爱因斯坦张量（Einstein tensor），描述了空间弯曲的情况，右边 是个系数不重要， 叫能动张量（stress-energy tensor），描述了物质能量的分布情况。右边比较简单，我们已经很清楚能动张量是个什么东西，关键是左边，爱因斯坦张量到底是个什么形式。

这个就要靠猜了。

但是我们知道有这么几个条件：

1. 首先爱因斯坦方程必须是个张量方程，因为只有这样它才能在参考系变换中保持不变，才能在任意参考系中都成立；
2. 我们已经知道了能动张量的对称性，即 ，所以左边的爱因斯坦张量也必须得要有 ；
3. 我们知道在经典极限时，它必须能近似成牛顿引力 。

咱们一个一个来：

1. 我们所知道的张量就只有度规 和里奇张量 ，所以爱因斯坦张量最宽泛的定义就是 ，其中 是曲率标量， 和 是常数；
2. 上面定义的这个奇怪的东西必须满足 ，我们解得 ；
3. 代入经典极限的条件解一下，就会解得 且 ，其中 是引力常数。

所以，总结起来，我们就得到了 且 。因为宇宙常数 是极小的，所以如果我们不考虑宇宙尺度的事情，那爱因斯坦方程就会变成美美的 。

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既然有人问了里奇张量，那我就简单地再补充一下吧。

所谓的“空间弯曲”其实就是由度规（metric） 描述的。在平直时空、笛卡尔坐标系中，度规就是人畜无害的

但是一般而言，度规没有这么漂亮，其中每一项都会是时空坐标 的函数。

通过度规我们可以定义出克氏符号（Christoffel symbols） 。虽然不太好看，但这肯定不是瞎定义出来的，是有道理的。几何上，它描述着“有多少坐标值的变化是由于坐标系的变化才造成的”。举个栗子，上述平直时空的度规显然是个常量，如果我们求导就会得到0。然而，同样是平直时空，如果我们不用笛卡尔坐标系而改用球坐标系，那度规就会变成一个 和 的函数，这时我们求导就不会得到0。然而这是很荒谬的，因为我们只是在用不同的坐标系去描述相同的时空！

所以，克氏符号就是用来修正导数或者梯度在广义相对论中的定义的。比方说，我们描述一条时空中的测地线 时，会说它的速度保持不变也就是二阶导数为零。在笛卡尔坐标系中，这就是 。但是，推广到更一般的情形中，我们就要加上克氏符号的修正 。再例如，在广义相对论中，梯度的定义也要从简单的 变成 。

有了克氏符号的帮助，我们就可以给度规求导了。我们定义出黎曼张量（Riemann tensor） 。这玩意儿呢，其实就是广义相对论中的潮汐力，描述了平行的测地线之间的偏移量。当然，如果时空是平直的，平行的测地线会永远保持平行，所以黎曼张量在平直时空中恒为零，只有在弯曲时空中才不为零。

黎曼张量非常重要，因为它很好地描述了时空的弯曲。我们看到它在平直时空中恒为零，弯曲时空中才不为零，符合我们的想象（如果“什么都没有”，那时空应该是平直的）。它和度规不一样：即使是描述同样的平直时空的度规也有无数种形式。它和克氏符号也不一样：克氏符号不满足张量变换的形式，不是张量，而黎曼张量顾名思义是个张量。

最后，我们可以把黎曼张量收缩，获得其他形式。我们定义里奇张量（Ricci tensor）为 且曲率标量（curvature scalar）为 。它们都从不同方面描述了时空的弯曲，也都是张量（标量也是零阶张量哟），所以最终都进入了爱因斯坦张量的定义。

牛二和万有引力中出现的质量并不是一个东西。根据牛二 和万有引力 ，老爱认为质量具有等效原理——老爱特有的思维方式，凡是不能区分的就是一回事（等能区分了你再区分，不在区分不了的东西上浪费精力，出道的时候在狭义相对论上就是这么干的），即惯性质量 和引力质量 是一回事，这样还留下了一个伏笔，未来如果有人真的证明了这两个质量是一体的两面，那么老爱赢了；未来如果有人能够区分两个质量了，还可以在更大的一个模型上讨论模型退化为等效原理，老爱继续躺赢。

总之：

两个力可以约去，这样可以得到加速度和引力场的关系，这里是有心引力场的情况，显然可以推广到任何引力场：

加速度关乎参考系，引力场关乎引力。这是老爱学习黎曼几何前的研究成果。按照老爱的脑回路，我跳楼的时候到底是引力在拉我，还是参考系在加速运动，我仍然不能区分。。。虽然我在跳楼，可是如果是在加速运动的参考系中，我还是在匀速直线运动（运动轨迹为曲面上的直线——测地线）呢。

不仅是惯性质量和引力质量无法区分，进一步说惯性和引力也不能区分。惯性(力)来自加速的坐标运动，也就是时空弯曲；引力来自物质的分布，确切地讲在相对论意义下是能量和动量的分布。——无论是我跳楼，还是大地加速奔向我，效果都是一样的酸爽。

在获得了黎曼几何这一心法后，结合狭义相对论的成果，老爱可以用张量的语言来讲清楚等效原理。引力的效果（与物质——能量或动量的载体相关）构成能动张量，而时空的弯曲（与参考系相关）构成爱因斯坦张量（来自弯曲时空的Levi-Civita联络上的Riemann曲率张量），场方程就是用张量描述的等效原理。

Einstein场方程联系了描述空间弯曲的Einstein张量 和描述物质能量分布的能动张量 ，即：

其中 是个常数。