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实变函数证明第八题? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

首先我不清楚这里的分布函数的定义是什么(有些孤陋寡闻了,知道的请帮忙指出)。如果是类比概率论里的定义 ,那么原命题是不对的。比如 , , ,则左边积分是有限值,然而由于 充分大时恒有 ,故右边积分是无穷大。

如果定义 ,那么原命题是对的(尽管有可能不是题主的问题)。首先需要一个引理:

引理 设 是 -有限测度空间。如果 是 上的非负 -可测函数,那么

证明:注意到 。利用Fubini-Tonelli定理,

现在证明题主的命题。将 代入到引理中的 ,有

换元 可得

该积分

(这里为什么可以换元?Lebesgue积分确实存在相应的换元定理;或者注意到 是单调函数,故间断点至多可数个,因此被积函数几乎处处连续,故可以通过取极限转成反常Riemann积分)




  

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