实变函数证明第八题？ 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
首先我不清楚这里的分布函数的定义是什么（有些孤陋寡闻了，知道的请帮忙指出）。如果是类比概率论里的定义 ，那么原命题是不对的。比如 ， ， ，则左边积分是有限值，然而由于 充分大时恒有 ，故右边积分是无穷大。
如果定义 ，那么原命题是对的（尽管有可能不是题主的问题）。首先需要一个引理：
引理 设 是 -有限测度空间。如果 是 上的非负 -可测函数，那么
证明：注意到 。利用Fubini-Tonelli定理，
现在证明题主的命题。将 代入到引理中的 ，有
换元 可得
该积分
（这里为什么可以换元？Lebesgue积分确实存在相应的换元定理；或者注意到 是单调函数，故间断点至多可数个，因此被积函数几乎处处连续，故可以通过取极限转成反常Riemann积分）
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