非常硬核的数学题，大家能否解出？ 第1页

这道题的题干是我出的，其实是 Conflux 两周年活动的一道有奖回答的题，没想到被人发到了知乎上。此题的原始链接在下面，时间是 2020 年 7 月 15 日下午 6 点， 知乎问题日志的提问时间是 7 月 16 日早上。

另外，我们注意到有人将知乎的回答未加引用地作为活动答案提交到了 Conflux 后台，Conflux 的运营团队后续会进行相应的处理。

知乎提问最初的分类居然有小学奥数，显然是被题目可爱的外表蒙骗了。这道题改编自 2018 年姚班课程《计算机应用数学》中的一道题。需要用到母函数，复变函数等相关的知识。

这道题本来有三问，前两问是铺垫，所以自然而然的，姚班同学当时给出的答案都是如下这个解题步骤。也很高兴看到，在这个问题下的其他回答，为解决这个问题提供了不同的思路与方法。

设 表示 颗糖的吃法，那么我们不难得到递推式

其中

定义数列 如下

则对偶数项，有递推式

构造数列 的母函数

注意到

则有

因此

考虑定义在复平面上的函数

容易解出， 当且仅当 或 .

对 ，我们定义 ， .

则函数 的所有奇点为 .

下面我们说明这些奇点都是一阶的，并计算留数。注意到，

由于对任意 , ，所以第二项的分母是非0的，因此第二项为0.

对于第一项，我们有

对于 点的留数，可以使用相似的方法计算。最后，我们可以得到

定义函数

则函数 的全部奇点是 和 0.

我们计算各点的留数

(注： 是 的 次项)

由于 ,

考虑由 四条直线围成的矩形，设矩形逆时针方向为路径 .

对任何一个在曲线 上的点 , 我们有

当 时，

当 时，

因此

.

因此对任何一个在曲线 上的点 ，有

那么

根据留数定理，我们有等式

由于

.

因为 ，所以

因此

即 的渐近表达式为

.

由于

则 的渐近表达式为