柯西积分公式和留数的奇妙关系？ 第1页
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谢邀。
亚纯函数在以某点为中心的去心解析圆域D内可以展成双边级数，级数的一般项是
f(z) = Σ Cn( z - zₒ)ⁿ , n∈Z, z∈D
对 f(z) 进行逐项环积分，显然这个级数只有-1次项系数被留下来(所以叫留数)，而其它项的积分皆为0，这是一个复变中很经典的现象。而就像我们熟悉的整函数(比如多项式函数)，没有-1次项，所以它们的环积分为0。
就洛朗级数的计算而言，如果该函数在定义域处处解析，那么展开式就是泰勒级数；如果在奇点展开，就会出现负次幂的项，也就是更为一般的洛朗级数。具体的计算方法一般是运用等比数列求和公式，或者运用已知数列通过四则运算以及积分、求导可得。
从双边级数（Laurent）的观点看，亚纯函数、柯西积分公式、留数被统一起来。
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