对于任意一个拓扑流形而言，一定能够给它赋予一个微分结构吗？ 第1页

不能。可以用四維流形拓樸著名的Donaldson's Theorem來幫助構作反例。Donaldson's Theorem 斷言，對任何四維緊緻單連通微分流行 ，如果它的intersection form

是definite的，那麼它一定可以diagonalized。Freedman構作了一個稱之為 -流形的反例。這個四維緊緻單連通拓撲流形的intersection form是在一個八維晶格（稱之為 -lattice，和 李群的root lattice 有關）的對稱正定二次型，但是不能diagonalized。所以根據Donaldson's Theorem， -流形不可能是微分流形。

Donaldson's Theorem的證明涉及Seiberg-Witten invariant，是一個極為深刻硬核的結果。其實解釋為何 -流形不是微分流形可以用Rokhlin‘s Theorem這個稍微‘elementary'的定理。它是Atiyah-Singer Index Theorem 的特例：對於任何四維緊緻spin微分流形 ，它的intersection form的signature一定可以被16整除。用Atiyah-Singer可以證明這個signature等於 乘以 的Dirac operator的指標，而剛好這個Dirac operator的kernel和cokernel擁有quaternionic structure，所以它們的複維數（從而Dirac operator的指標）是偶數。這就是Rokhlin's Theorem證明的梗概。

回到我們的 -流形。已知它是spin的（有關如何判斷一般拓撲流形（可能不能定義切叢）是否spin可參考

CW复形上的示性类如何定义和计算？ - Alex的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/481719162/answer/2078636482）。上面提到它的intersection form是八維晶格上的正定二次型，所以signature是8，不能被16整除。根據Rokhlin's Theorem我們又一次得出 -流形不可能是微分流形的結論。