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什么是 Finsler Geometry?它与 Riemann 几何有什么关系? 第1页

  

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从某种角度上来说,这两者的关系有点儿像Hilbert空间和Banach空间的关系。


Finsler Geometry是Riemann Geometry的自然推广。它推广的是Riemann Geometry定义曲线长度,也就是定义距离的方式。我们知道,曲线长度的定义方式是曲线的切向量的『范数』的积分。当这个『范数』是最简单的情况,也就是『内积』的时候,它就是Riemann Geometry,而当它是一般的范数的时候,它就是Finsler Geometry。


从这个角度来说,所有Riemann Geometry下面的概念,比如测地线,曲率,等等等等,都可以对Finsler Geometry对应的定义出来,而所有Riemann Geometry下你可以问的问题,比如闭测地线的条数,常曲率空间的刻画,等等等等,也都可以对Finsler Geometry来问。


但是具体处理这些概念和问题的时候,Finsler Geometry要比Riemann Geometry繁杂得多。除了范数本身定义方式变得难于处理之外,它还导致Finsler度量的indicatrix不再具有对称性,这也就使得Finsler Geometry下的几何量基本上都会和『方向』有关。这将导致一些和Riemann Geometry下完全不一样的情况,比如A到B的测地线不再一定是B到A的测地线。再比如我们都熟知的一个结论是说Riemann Geometry下球面上有无穷多条闭测地线,但是在Finsler Geometry下,存在只有两条闭测地线的球面。


从这个角度,我记得龙老师曾经说过,如果把Riemann Geometry比喻做现实地球上的情况,有高山峡谷凹坑,使得最短距离不再是直线,那么Finsler Geometry就相当于一个刮着猛烈飓风的地球,在这上面,顺风和逆风或者侧着风都会有很大的不一样。




  

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