G是一个单群，H<G,[G:H]<=4,证|G|<=3? 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
首先原命题需要在 的条件下才成立，否则所有单群阶数都不超过 了。这里用一个关于小于 阶的单群的结论来做。
按你说的群作用， 自然地作用在商集 上 ，这个群作用诱导了群同态 ， .（其中 代表 自己到自己的所有双射的集合，显见 ）由于 是单群， 作为 的正规子群只能是 或 。但其实不能是 ，因为要是 的话 ，即所有 都满足 ，这意味着 ，违背了 的条件。因此 ，即 是单射。故 . 我们熟知大于 且小于 阶的非素数阶子群都不是单群。注意 是 的倍数。故假若 只能有 ；假若 只能有 ；假若 那单群 不存在，因此原命题得证。
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