李群的伴随表示如何理解？ 第1页

题主应该问的是伴随表示而不是伴随矩阵，李群的表示从几何的角度去理解尤其的自然，在这里安利一下。

1 李群的表示：

首先我们研究李群的表示是因为李群可以变得相当的抽象，所以我们需要看李群中的元素作用到某个流形（或者就是某个空间）得到什么结果，这种从李群的功能角度去看问题可以把抽象的李群进行简化。首先介绍李变换群的概念： . 如果固定了元素g,我们可以得到一个的微分同胚映射，这个微分同胚映射我们叫做李变换群. 特别的，如果作用到的流形M还是一个线性空间V, 我们可以看出这个映射的特征是从李群G到一个线性变换的映射，线性变换就是矩阵，也就是说我们用矩阵表示了李群的性质，就叫做G的表示， V叫做表示空间。

2 李群的伴随表示：

所以我们要寻找一个李群的表示，也就是要寻找一个线性空间作为一个表示空间。如果李群本身就是一个矩阵群的话，当然它本身也就构成了一个表示，叫做基本表示。但是除了基本表示，我们还能找到什么表示呢？ 你可以想到对于任意的李群有一个现成的线性表示空间，那就是这个李群的李代数。ps：李代数就是李群恒等元的切空间。

先说李群的伴随表示的定义：

从李群G到其李代数上的一个线性变换叫做这个李群的伴随表示。

下面我们进行一个简单的说明：

给定李代数中的一个元素A，我们可以由它通过指数映射生成李群中的一个单参子群， (一般的书中可能会多一个i来保证厄密性，不过这只是记号的问题）。

因为它是李群的元素，对于G，我们有一个自同构的映射，对于李群中的任意元素g,

.

如果让t作为参数，构成了一条在G上的另外的一条单参子群。我们求它的单位元上的矢量就可以得到另外一个李代数的元素，

第一步用到微分几何中的一条定理（曲线像的切矢等于切矢的像）， 第二步我们就是引入了记号Ad。 也就是说自同构映射让李代数A转了一转。

以上我们就得到了李代数上的一个线性映射. 所以根据表示的定义Ad也就成为了李群的一个表示，叫做伴随表示。

关于为什么要寻找伴随表示，我觉得和wigner定理有点关系，wigner定理说一个粒子对应于对称群的一个表示，为了在一个对称理论中加入更多的粒子，就要寻找更多的表示，如果寻找到了伴随表示，就可以将一部分的粒子放在伴随表示中，起到了一个扩充的作用，实际上量子场论就是这么干的。其它的因为我量子场的基础不好，就不多说了。

这种几何的理解可以和其它理解中（例如使用结构常数）完美的对应，并且更加直观和容易。所以推荐这么理解一下。

参考资料： 梁灿彬 《微分几何与广义相对论》中册附录G