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是否区间 [0, 1] 内的代数数都可以表示为 sin²(kπ)(其中 k∈Q)的形式? 第1页

  

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我们知道,如果 ,其中 是有理数,那么 。

而 ,所以能表示成 的有理数只有 。

对于第二个问题,可以求出 的极小多项式。只需要算 的极小多项式 即可,其中 。 与 无关,因为对每个 都存在 使得 ,其中 ; 把方程 映射到 。由此可看出 的所有根就是 。它的次数是 。

为了把 算出来,考虑 Chebyshev 多项式 ,它满足 。下面分 是奇数和偶数讨论。如果 是奇数,那么
。所以 有 个不同的根 。因此 。用类似的方法可以得到,如果 是奇数,那么 。用 Möbius 反演即可算出每个 。




  

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