是否存在连续函数，使得每个数都被取到n次？ 第1页
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10.22
结论: 题主的猜想正确.
为奇数: 构造函数 , 其中 为取整函数和取小数函数.
满足题目条件, 图像如下 :
为偶数(存在 , ): 不存在这样的连续函数 .
设 为 的全部零点.
在以上 个区间上分别不变号. 若 在区间上恒为正, 则称这个区间的符号为正, 否则为负号.
根据抽屉原理, 中必定有 个同号的区间 , 不妨设符号皆为正.
设 在 上的最大值为 . 由介值定理, 对任意的 , 存在 使得 .
取 , 则以上 个区间中至少存在 个不同的 使得 .
中有一个符号为正, 否则 在 上有上界. 可知存在 使得 .
综上, 存在 个两两不同的 : 和 使得 , 而 , 矛盾.
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