为什么多项式的根是系数的连续函数？ 第1页

首先需要指出的是多项式的系数到根的映射并不是定义良好的，因为它可能是多值的。 具体地说，代数基本定理告诉我们 次多项式 在复数域 上有 个根 。用 表示多项式的系数到根的映射。如果直接将 定义成多项式的系数映射到根的序列，那么比如说 的值可能是 或 或 任一排列。这里的原因是没有一个简单的顺序来排列多项式的根（还保持连续性），当然你可以强行定义一个顺序，但这样不一定能保证 是连续的。事实上，不能可能存在连续的映射 将多项式的根映到系数。比如考虑多项式 ， 是复数，当 单位圆上变化时，我们看到这个多项式的两个根(即使允许排列)也不可能连续变化，感谢评论@王筝指出。但我们可以模掉排列这个等价关系，将多项式的系数到根的映射看成 到 的映射，即定义

这里 表示 元对称群。这样定义的 可以是连续映射。

下面我们来证明映射 是连续的。首先可以验证 上的商拓扑可以由下面度量诱导

这里 是 上的标准范数。将这个度量下函数 的连续性翻译成 语言就是对于给定的 ，存在 ，对于多项式

满足 ，存在排列 使得 ，这里 和 分别是 和 的零点。

映射 的连续性可以使用Rouche定理，回忆一下复分析中Rouche定理说的是

(Rouche 定理) 如果复函数 和 在一个闭曲线 内部及边界全纯，满足

那么 和 在 内部零点个数相同，这里零点按重数计算

现在考虑多项式

设 是它的一个零点 ，要说明 是连续的，我们需要证明对于 ，存在 ，对于多项式

满足 ，在以 为圆心半径为 的圆 内， 和 的零点个数相同。

我们可以假设 小于 到 其他零点的距离，这样使得 在 上没有零点。因为 是紧的，因此 在上面存在最小值 。

另一方面，令 ，那么在 上，我们有

如果选择 ，那么在上， 。因此根据Rouche定理 和 在中零点个数相同，这样就完成了证明。