请问泰勒公式的几何意义是什么？ 第1页

基础概念^[1]

设 中的曲线 ，其中 是弧长参数，

其基本性质

，

还需要知道以下概念：

• 切向量：
• 主法向量：
• 从法向量：

还有基本的 Frenet 公式：

其中 是曲率、 是挠率，它们是数量函数。

空间曲线的 Taylor 展开

下面，将曲线 在 处 Taylor 展开（不妨设 ）

利用 Frenet 公式带入：

也就是说，我们在 Frenet 标架 代替原有的坐标系，可以得到局部近似曲线 :

当上述挠率 时，空间曲线退化为平面曲线，所以我们只需要考虑曲率就够了（挠率是从第三个维度 才开始出现的）。

反过来，由曲线论基本定理，当给定可微函数 ，连续函数 ，可以局部得到惟一的正则空间曲线曲线 ，分别以之为曲率和挠率。

总结

这是通过 中的曲线解释泰勒公式，事实上我们只用到了 Taylor 的三阶项。如果考虑 中的曲线，我们就会需要更多项来解释：类比曲率、挠率的概念，在高维空间需要我们考虑曲线在其余维度上的扭转和弯曲……而的高阶项可以视为来自高维空间的微小扰动。

后续

接下来有时间的话，我打算补充一下多元函数的 Taylor 公式的几何解释，不过需要我自己理清思路。以上内容来自沈一兵老师的著作。

参考

1. ^ 沈一兵《整体微分几何初步》