为何可以用不动点法求数列通项公式，可不可以解释一下？ 第1页

以下内容来自我的文章：

由数列的递推公式求解通项公式是一类常见的数列问题。这篇文章将简单介绍一种求解某些一阶递推数列的通用方法：不动点法。

一个例子

我们先来看一个例题。

已知数列 满足 ，其中 ，且 ，求 的通项公式。

解：注意到 ，故 为以 为公比的等比数列，又 ，所以 ，即 。

看完这个解答有什么感受？是不是第一步的“注意到”让人一头雾水？

其实，这个“注意到”并不是乱凑出来的，发现这一步的原理就是本文要讲的不动点法。

递推数列与函数迭代

最开始，不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。

对于一阶递推数列，我们可以把递推公式看成函数关系 。在我们知道了 的值之后，就可以依次求出数列每一项的值：

写到这里，就能发现，求解递推数列和求解函数迭代在本质上是一样的。

我们记 n 次迭代函数 ，并补充定义 ，那么对于递推数列 ，我们可以通过求解函数迭代来求解数列的通项公式 。

于是，求解递推数列的问题就转化为了求解函数迭代。

函数的不动点

对于函数 ，我们把满足 的 称为 的不动点。

为什么叫“不动点”呢？如果我们把函数看作从 到 的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫做“不动点”。

不动点有很多奇妙的应用。比如巴拿赫不动点定理，又称压缩映射定理，这个定理指出，如果一张地图的内容包含地图本身所处的位置，那么地图上一定有一个点和它的实际位置重合，也就是“从现实位置到地图位置”这一映射的不动点。再比如数值分析中的不动点迭代法，可以快速求解一个函数的不动点的近似值，进而也就能求解方程的根的近似值。本文主要介绍不动点在求解递推数列及函数迭代中的应用，所以对不动点的其他性质不多加赘述。

不动点和函数迭代有很大的关系。可以发现，一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点，也就是 。

当然，反过来并不一定成立。迭代函数的不动点不一定是原始函数的不动点。例子很好找，比如 ，它的二次迭代函数 ，处处都是不动点，但是 的不动点只有 而已。

换元法与函数相似

换元法可以说是最常用的简化问题的方法了。文章开头的例题也可以看作是换元法的一种应用，也就是令 ，从而得出 是等比数列，极大地简化了问题。

既然我们刚才已经找到了数列迭代在函数观点下的写法，那么能不能找到换元法在函数观点下的形式呢？

对于一个函数 ，我们作换元 。为了问题简便，我们不妨只考虑 是一一映射的情形，这时候就能用反函数来表达 ，于是 就有了自变量为 的形式 。

现在我们来看一个问题： 的迭代在换元之后的形式下如何表达？

先从二次迭代开始，我们的目标是在 中凑出 这样的形式。

如果我们把二次迭代 看成一个复合函数，它的外层函数的自变量 ，我们对这个 也做一次换元： 。

有没有感觉这个形式和 很像？左边都是下一次迭代的自变量，右边都是上一次迭代的自变量。

于是我们令 ，接着计算 的迭代：

也就是说， 。同理，可以由数学归纳法证明， 。这就是迭代在换元法下的表达。

接下来，我们总结一下上面的内容，提出函数相似的概念。

对于两个函数 和 ，如果存在一个函数 及其反函数 ，使得 ，则称 与 通过 相似，记作 ，其中 称为桥函数。

刚才我们已经证明了函数相似的一个性质：如果 ，那么 。

函数相似还有一个与不动点相关的性质。

对于 的不动点 ，有 ，于是 ，故 是 的不动点。这表明， 与 的不动点一一对应。

不动点法

讲了这么多，终于到我们的重头戏了——缝合（误）。

把我们刚才的一系列概念综合起来，就得到了求解函数迭代的不动点法。

当我们要求解一个比较复杂的函数 的迭代时，可以去寻找一个与之相似但形式更简单的函数 ，通过计算 ，再根据 ，得出 。

那么，为什么这种方法要叫做不动点法呢？因为我们可以通过不动点来构造一些简单的 。

什么样的 算简单呢？当然是迭代容易计算的函数就是简单函数。最常见的就是两类： 和 （其中 k, b 为常数）。不难发现，这两类函数对应的是等差数列和等比数列的递推公式。

接下来我们分析一下这两类函数的不动点。（这里需要允许一些不太严谨的描述，比如未加定义地引入无穷大及其直观的运算规律。）前者 的不动点是 ，而后者 的不动点是 0 和 。

按照前文所说的函数相似的性质， 的不动点要和 一一对应，也就是对于 的不动点 ，有 是 的不动点。如果只考虑不动点之间的对应关系，我们可以这样简单地构造一个 ：

1. 如果 有唯一不动点 ，令 。这样 是 的不动点。
2. 如果 有两个不动点 和 ，令 。这样两个不动点分别被映射到 0 和 ，是 的不动点。

神奇的是，即使是仅考虑了不动点的情形，这样构造的 还是能简化一大类 （主要是分式函数）。

不动点法在数列中的应用

让我们隐藏掉中间的过程，来看看不动点法应用到数列上是怎样的。

1. 找不动点。只需要简单地把递推公式里的 和 都换成 ，再求解这个方程，得到的结果就是不动点。
2. 换元。按照上文的方法构造 或者 ，代入原递推公式，化简得到 的递推关系，从而解出其通项公式。
3. 求解。利用 和 之间的关系，解出 的通项公式。

现在在看看开头的例题，是不是明白了许多呢？

不动点法的局限性

不动点法虽然有时候很好用，但是也经常会遇到失灵的情况，包括但不限于：

• 求解不动点时无解。
• 代换之后的数列并没有一个相对简单的形式。

这时候，就说明这个问题并不适合用不动点法解决。

而且，因为不动点法看起来太过于投机取巧，很多问题都会刻意地限制不动点法的套用。这个时候一定要及时更换思路，不能钻牛角尖。