覆叠空间理论中的“纤维”有什么直观解释么？ 第1页

「纤维」——Fiber，这个翻译其实已经很到位了。

纤维就是在拓扑空间B这张「皮」上长的「毛」，而且在局部上，它就是我们想象的那种形状：

我们称之为局部平凡性。其中 是那根长在 处的「毛」。

不过呢，我们普通人理解的「毛」，一般是一根线——一维线性空间，但在数学中的「纤维」更具有一般性，不仅可以是任意维数的线性空间，还也可以是张量空间，或者是某种拓扑空间……这就看你研究的是哪种纤维丛了。

这个纤维和纤维丛的纤维是一个意思，覆叠空间是纤维丛的特殊情形，在这里纤维是离散的点集。

直译的嘛，刚接触的时候以为我在看材料学。

数学中，尤其是代数拓扑，一个纤维(fibration)是一个连续映射，对任何空间满足同伦提升性质。纤维丛(在仿紧底上)构成一类重要例子。在同伦论中任何映射和纤维化“一样好”——即任何映射可以分解为到“映射道路空间”的同伦等价复合一个纤维化。

“纤维”由定义是 E 的子空间，是 B 中一个点 b 的逆像。如果底空间 B 是道路连通的，有定义可以推出 B 中两个不同点 b1 和 b2 的纤维是同伦等价的。从而我们通常就说纤维 F。纤维化不必有定义更受限的纤维丛时的局部笛卡儿乘积结构，但弱一点仍可从纤维到纤维移动。塞尔谱序列的一个主要令人满意的性质是说明了底 B 的基本群在全空间 E 的同调上的作用。

乘积空间的投影映射容易看出是一个纤维化。纤维丛有局部平凡化性质——这样的笛卡儿乘积结构在 B 上局部存在，就通常足够证明一个纤维丛是一个纤维化。更确切地，如果在 B 一个可数开覆盖上有局部平凡化，则丛是纤维化。仿紧空间上任何覆盖——比如任何度量空间，有一个棵树加细，所以任何这样空间上的纤维丛是纤维化。局部平凡化也蕴含了良定义的“纤维”的存在性(差一个同胚)，至少在 B 的每个连通分支上。

“纤维”是对fiber的直译。fiberation，fiber bundle：纤维丛，纤维化。Principle Fiber Bundle：主纤维丛。拓扑学家对这种代数结构的认知原本就是fiber，这个直观形象的认知并非是英汉翻译的功劳。

fiber的本质是“拓扑空间中的一条测地线geodesic（即：超平面hyperspace）”。

覆叠映射（题主的“复叠”，或许不是很准确）是穿过原像拓扑的平面光，在像拓扑上投影的映射。这个光路形成的一束测地线，看起来和fiber简直一模一样。