想要学习流形的话需要哪些预备知识？ 第1页

流形这个东西其实没有你想象的那么高端和神秘，在各种方向的数学里流形都会自然的出来。相信不出多久这个东西肯定会成为你生命中不可分割的一部分，不论你以后要学纯数学还是计算一类的。因此个人建议不必为了学流形而学流形，大一更要紧的事情是打好基础，学好以后会大量用到的那些东西，也就是数学分析和线性代数，如楼上所言，特别是多元微积分还有内积空间对偶空间。之后的课程里面总归要在流形上面做事情。

还是正面回答一下题主的问题吧，觉得学校课程太简单，想自己多看一些书以便尽早看到流形也未尝不可。也就是题主问的，“如何一步一步走向流形”。

1.拓扑线。这一条线的好处是不需要太多基础知识，因此比较快。加点方式是加拓扑，加着加着就会出现流形的图标了。经典的拓扑教材，比如Munkres的，大概是在介绍了很多点集拓扑结论后引入单位分解和拓扑流形，并介绍紧流形的嵌入定理。不过这条线的缺点就是，拓扑流形其实没啥好玩的。。

2.(接1)微分流形线。加上微分结构的话，流形上就有很多有意思的事情了。在这上面加点建议数学分析线性代数和拓扑点满先。这里的经典教材是GTM94，讲得很清楚而且多图杀猫。貌似有中文版但不知道翻译如何。中文教材也要不错的，比如北大张筑生老师的微分拓扑新讲，南大梅加强老师的流形与几何导论的前半部分。

3.复分析-黎曼面线。所谓黎曼面就是一维复解析流形，反正题主也没说啥流形是吧。。黎曼面是在多值函数里自然地出现的一个东西，而且这上面的好玩的东西非常多而且非常好玩，比如单值化定理，Riemann-Roch。建议先看一些复分析的东西，然后再去看黎曼面的书，比如说。。还是梅加强老师的黎曼曲面导引。在这条线上还是需要一些基础的，但不必太多，毕竟只有二维。。

(待续)

最后送题主一句话，不要急，慢慢来。