不存在。
证明:在证明之前,我们先叙述一个引理。
定理(Dirichlet):给定自然数a,b. 若a,b互质,则存在无穷多自然数k使得(ak+b)是素数。
下面我们来证明原命题。设 是满足题目条件的多项式. 对任意素数 , 由条件知 是素数。若 , 则由Dirichelet定理知,存在无穷多自然数 使得 是素数。此时,
但由条件, 是素数表明 是素数,因此由上式可推出
考虑多项式 . 之前的讨论表明有无穷多个 使得 , 因此 恒等于零. 换言之, 恒成立. 这表明 是一个常值多项式,即有 . //为看出这点,令 . 当 是非常值多项式时, 会趋向于正无穷.
因此,当 不是常值多项式时,一定有 . 考虑多项式 , 则 对任意素数 均成立. 换言之, 有无穷多个零点,因此 , 即 .
综上,满足条件的多项式只可能是常值多项式 或者是 .
评论区有人提出了进一步的问题:如果 是一个实系数多项式,该命题还对吗?当然,这个问题提的比较模糊,因为实系数多项式在素数处的取值未必是整数,当然更不一定是素数了。为此,我们把这个问题更精细化:
问题:设 是一个实系数多项式,且对任意素数 , 均有 是素数,那么 除了常值多项式和一次多项式外,还有其它可能吗?
首先我们注意到, 的系数一定是有理数(Hint: 的系数满足一个系数都是整数的线性方程组)。因此,原问题就变成:
等价问题:设 是整数, 是整系数多项式。若对任意素数 , 均存在素数 使得 , 求证 只能是常值多项式或者一次多项式。
(Hint: 将有理系数多项式 写成 的形式即可看出。)
我们可以效仿之前的办法:对任意整数 以及质数 , 我们有:
因此 .
和之前一样,我们分两种情况讨论:
case1: 存在 使得 . 此时,存在无穷多 使得 是素数。和之前讨论类似,这意味着 是常值多项式。
case2: 对任意 均有 . 那么,对任意 , 我们有 . 因为满足 的素数 有无穷多个,因此这表明 .
证闭。
补充一些细节吧(主要是打字太烦了,但想了想还是说清楚比较好。)
关于第一个Hint:
设 , 则 满足下面的线性方程组: