1²+2²+…+n²求和公式的推导有哪些方法? 第1页

你们都太高端了，我来一个小学生解法：

只需利用立方体的顶点，即可得出 的求和公式！

首先，你要想象出这样一层层叠起来的正方形，每 层的彩色点点数是 ：

这样，求 的问题就被转化成了求这些彩色点点总数量

现在，把刚刚的那个图形，放进这样一个立方体中，它的每个面都被切成 n 份

不难看出，彩色点点都包含在一个四棱锥中：

我们知道，四棱锥的体积是立方体的 ^[1]

但是，彩色点点的总数量显然不是

为什么呢，因为三个这样的四棱锥组成立方体的时候，有重叠的部分

选择 a、b、c 为三个三角锥的底面观察，不难看出，重叠的部分应当是如图三个三角形面（黄绿蓝）和一条公共边（红）：

显然，三角形中包含的彩色点点的总数量，是 ，这是一个特别的等差数列，我们小学就知道它的求和公式为“首项加末项乘以项数除以二”，所以每个三角形中包含的彩色点点数为

然后，还需要减掉一条公共边上的彩色点点数

所以重叠部分应当是

所以，图中彩色点点的总数量应该是：

怎么样，是不是非常简单呢？

结论就是：

看完的奖励看自拍：

虽然解法很简单，但画图挺费时间的，觉得有趣的记得赞和关注哦～

恶老师会经常用简单通俗的方式数学问题哦～（胎动+++）

很快啊，评论区就要求推广到高维了……

显然，我们画不出高维立体图形

但我们依旧有简单的办法得出 的求和公式

先从 开始

显然，

并且 的求和公式应该包含 ，即最高指数比 3 多 1

综上，我们不妨列出这样一系列式子：

……

把以上式子全部加在一起（胎动+++），可以得到：

移项可得：

再代入之前已知的

你就可以得到 的求和公式了，这个我就不写了

接下来，我们休息片刻，然后推导指数为 的通式

好了，我们继续

观察前面 求和公式推导的过程

并结合二项式定理：

（其中 为组合数，公式为 ）

我们不难得出 :

好了，就是它没错

可能看起来有点恐怖（creepy），但其实很好理解，分成这样四部分看就好了：

有了这个递推公式，你可以自己套娃手算，也可以编一个套娃程序，从 开始循环计算，一直算到 ，就可以得到任意 的求和公式

终于写完了，公式太长，排版排得我眼都花了，比较粗心，如果有什么错误欢迎指出，感谢！

其实本文一开始只有小学生解法，谁知道分分钟评论区就要求扩展到高维，所以又花时间写了后面的内容

看到大家如此好学，还是那句老话：

所以，如果恶老师欣慰你也欣慰的话，建议你关注+点赞+评论，感谢～

参考

1. ^ 看到评论区对这个 1/3 有质疑，说是要先有平方和公式再有这个 1/3，认为我在循环论证 我解释下 1. 这里体积 1/3，是出于立方体这个特殊情况得出的；因为立方体可以用对角线轻易均分为三等份，（其中一份就是图中黄色的四棱锥），这三等份的相等，只需通过立方体边长和角的全等就可以来证明，不需要用平方和公式，不需要微积分，因为这里用的是特殊的立方体，不是一般的柱体，所以绝不存在循环论证 2.如果执意觉得有问题，请直接跳到本文后半部分，不需要用到这个体积公式，只需要二项式定理就可以了

没有人用数形结合吗，一看就明白了。