怎样证明这样一个行列式不等式？ 第1页

这里是一个使用cauchy-binet公式和cauchy不等式的做法。

对 的前m列展开，使用cauchy-binet公式：

使用柯西不等式，有

对两个括号内再次使用cauchy-binet公式， ,另一个同理，即原不等式。

但是感觉取等不是很好表述（子式和余子式对应成比例...?）。

不妨设 是满秩矩阵，否则不等式显然成立。

首先 ，而

令 ，则要证明

。

断言： 是正定矩阵。
证明：根据 满秩得到 也满秩(列向量线性无关)，而且 。

由Schur公式我们有

，

只要证明 。

根据 为正定矩阵，我们得到 ，所以 是半正定矩阵。

断言：设 为同阶实对称矩阵， 正定，则 可以同时对角化。
证明：由正定性可设 ， 可逆。令 。存在正交矩阵 使得 为对角矩阵。这时候令 ，则 。

我们同时对角化 ： ，则只要证明

。

还是由Schur公式， 相抵于 。而 正定，所以 正定，得到 的对角元都是正数；而由 非负定，这些对角元不大于 对应的对角元。证毕。

取等条件取到时有 。因为 正定，存在可逆方阵 使得 ，故 ，这得到 ，从而由 可逆知 。所以取等条件为 。