如何证明(x^y+y^x)(1/x+1/y)≥4? 第1页

高能预警！以下证明过程中，柯西不等式、（加权）均值不等式、琴生不等式、伯努利不等式悉数登场，单调性、凹凸性、求导法也各显神通。整个问题的解决基本在初等数学的范畴内。

为了理解的便利，加了很多分析思考的过程，并且把用到的引理都写在了文末。

注：实际上，与这个不等式相关的一共有三个不等式，第一个不等式最松（就是题主提到的不等式），第三个不等式最紧（就是我在证明过程中实际证明了的不等式）。第二个不等式和第三个不等式各有另一证明，也具一定代表性，以下文章作了整理和总结：

或 这两种情况都很容易处理. @予一人 对其中的 所提出的方法, 是证明 的经典方法, 但本题中实际可以处理得更简单. 因为 时, 注意到底数不超过 的幂函数的「递减性」, 可以得到 (与 的情况相同的结果):

这样放缩后, 再用柯西不等式即证.

此外, 利用柯西不等式, 可知左式不小于

只须再证明右式不小于 , 即只须证明

这就是 @名字 提出的更强的不等式. 往后我们的证明就是针对这个不等式, 其中的方法 (特别是加权均值不等式的手法) 也可以直接用在变形后的原不等式 上, 所得结果完全一样.

在更强的这个不等式中, 若将指数都修改为 , 不等式就是均值不等式, 左边是 "和形式", 右边是 "积形式". 在本题中, 指数带变量不容易处理, 想取对数处理又受到左边 "和形式" 的阻碍. 然而, 可以尝试用 (加权的) 均值不等式, 即 Young (杨) 不等式, 把左边放缩成为积形式, 再两边取对数, 变为容易处理的形式.

具体地, 左式等于

为了使这样的不等式尽可能比较紧 (以至于不会放缩过头), 根据取等条件, 大约需要

即大约需要

不过这样的 形式太复杂, 我们可以尝试微调一下它 (参考取等条件 ), 把指数中的 都改成 , 即取

解

利用柯西 (Cauchy) 不等式, 可知左式不小于

只须再证明右式不小于 , 即只须再证明

首先, 当 或 时, 必有

即原不等式成立. 故在不妨设 成立的情况下, 只须再考虑 .

此时, 由引理: 杨 (Young) 不等式, 可知须证式左式为

我们须证其不小于 , 这可以等价整理为

两边取对数, 即须证

再整理知须证

由加权琴生 (Jensen) 不等式及对数函数的凹性知右式不大于

故只须再证

令 , 则上式可用 表示 , 须证式变为

其中

这里乃是将 视为常数, 视为变量. 由于 中的四项 均为凹 (上凸) 函数, 且其中有严格凹的项, 故 严格递减, 结合

知存在唯一的 使得 , 于是 在 上先增后减, 最大值在 处取到, 从而只须再证

我们接下来将上式右边分子的最后一项 换一种表示方式, 为此注意到

这意味着

代入知须证式变为

由引理 ( 的界) 知

这个 比 和 的数量级明显要小, 在这一小量上进行研究和放缩, 更容易控制放缩过头的倾向. 现用 和 表示 , 则可将须证式整理为

其中

易知对 有

故由 知

只须证明

两边套上指数函数 , 即得到须证式

当 时, 由引理 (Bernoulli 不等式的高阶推广) 知左式不小于

它减去须证式右边后等于

当 时, 由引理 (Bernoulli 不等式的高阶推广) 知左式不小于

它减去须证式右边后等于

当 时, 用引理 (Bernoulli 不等式的高阶推广) 后的不等式放缩过头了, 需要另外寻找方案. 我们考虑代换 , 须证式等价于

两边除以 后减 , 须证式转化为

当 时, 左边是 数量级, 右边是 数量级, 因此对充分大的 , 须证式成立.

具体地, 易证须证式右边恒不大于 , 故 时左边

不小于右边. 故只须再讨论较小的 () 即可.

此时, 我们停下来观察一下须证式左边与右边的图像 (用 https://www.wolframalpha.com/ 画的):

如果加上与网格线的对比, 是这样的 (用 Geogebra 画的):

如果看 上的细节, 是这样的:

因此, 对 , 从图像容易看出结论成立. 严格的证明可由图像启发而得: 首先, 可以发现两个函数均为先增后减, 并且可以求出转折点的大致位置 (范围). 然后, 考虑将 分为有限的若干段区间, 每段区间内可以通过简单的放缩来证明不等式. 例如考虑在 上, 利用两个函数的递减性, 可分别得到两个更容易的不等式: 须证式左边不小于它在右端点 处取的值 (这个值不小于 ), 须证式右边不大于它在左端点 处取的值 (这个值不大于 ). 把这两个不等式综合起来, 就知道在 上须证式左边确实不小于右边, 须证式成立. 类似可证明在其它区间段上的情况.

上面这一段的细节全都用数学式列出来的话太 ugly 而且也不太必要, 这里就不赘述了. 综上得证.

引理: 杨 (Young) 不等式

对非负实数 以及和为 的正数 , 有

等号成立当且仅当 .

证明

当某个 为 时, 右式为 , 故不等式显然成立, 且等号成立当且仅当 . 当所有 均为正数时, 取 为严格凹函数. 由加权琴生 (Jensen) 不等式有

整理即得, 且等号成立当且仅当 .

引理 (Bernoulli 不等式的高阶推广)

设 为非负整数, 又设 , 则

特别地, 时的情况为伯努利 (Bernoulli) 不等式 .

证明

对 归纳. 时结论显然. 设结论对 成立, 下考虑 . 将须证式左减右记为 , 则因 , 故由归纳假设知

于是

即结论对 也成立.

引理 ( 的界)

设 , 而 满足

则

证明

注意到由算术-几何平均值 (AM-GM) 不等式,

得

进而

得

进而

得

综上有

这与我们要证的结果尚有距离. 但根据条件, 可以注意到

整理得

从而

由上述二次不等式, 解得

或

若后一式成立, 则必有

矛盾于 . 故

另一方面,

关于作者：北京大学数学科学学院博士，曾是中国数学奥林匹克（CMO）金牌，入选国家集训队，后来也曾作为知名机构的老师，带过若干省一、省队、国集的高中数学竞赛选手，拥有多年的数学竞赛教学经验。注重擅长：数学思维的提升培养，知识方法的深度梳理，各类题目的举一反三。

「公众号 ID」：点击作者头像，查看“一句话介绍”。

「面包多主页」：https://mianbaoduo.com/o/cdhuang