有哪些任意阶导数的零点都相同的函数？ 第1页
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定理 与 在 上互素，当且仅当 无重根。
证： 反证法。若 有重根，则
求导
这与 与 互素矛盾。
假若 与 有公因式 ，且满足 是 的 重根，于是设
于是 ，设 ，则
由积分第二中值定理
这与 是 的 重根矛盾。
注意：这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ，其中 。我们说有根，是指 。若考虑 的情况，则求导后会出现奇点，这不在我们的关心的范围。
于是，若 零点相同，则说明 有重根，而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——
显然他们只有在 （可去奇点）这一个根，继续求导，可以预见导数总是如下形式
其中 都是多项式， 依然是根（这个结论读者自证吧）。不过除此之外还会产生 的根，所以按照此种方法，我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。
当然，零函数就不说了。
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