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有哪些任意阶导数的零点都相同的函数? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

定理 与 在 上互素,当且仅当 无重根。

证: 反证法。若 有重根,则

求导

这与 与 互素矛盾。

假若 与 有公因式 ,且满足 是 的 重根,于是设

于是 ,设 ,则

由积分第二中值定理

这与 是 的 重根矛盾。


注意:这里实际上我们推广了多项式中的定理。我们约定所谓重根是指含有因式 ,其中 。我们说有根,是指 。若考虑 的情况,则求导后会出现奇点,这不在我们的关心的范围。


于是,若 零点相同,则说明 有重根,而且对任意 都成立。也就是说这个根不会受到求导的影响以致于消失。所以只能联想到指数函数——

显然他们只有在 (可去奇点)这一个根,继续求导,可以预见导数总是如下形式

其中 都是多项式, 依然是根(这个结论读者自证吧)。不过除此之外还会产生 的根,所以按照此种方法,我们只能保证 的任意阶导数都有同一个根。

当然,零函数就不说了。




  

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