数学家们用不等式做什么？ 第1页

不是数学家。依我愚见，不等式不是目的，而是手段。当精确计算难以进行的时候，那么在某种程度上进行估计就是可以代替“等式”的手段，用以研究研究对象的性质。当然也有一些类似于高中数学的“凑某种结构”的情形，不过这种就比较技巧了。还有的是：不等式本身不是目的，而是一种刻画数学对象结构的方法。

下面举一些例子我觉得比较能作为"proof of concept"，下文将隐去技术细节与严谨定义，尽可能只展示“能证明我上述观点的部分”，以免繁复的细节喧宾夺主。

第一个例子比较“计算机”。近似算法、随机算法。

不妨假设有某个算法 依据输入 来执行某项任务。如果要精确求解，那肯定是比较困难的。但是如果允许一定的误差，那事情就简单多了。例如 ，用 对于 进行近似。如果只能精确求解那估计很困难，但是如果允许一定的误差来近似，那事情就容易很多。事实上许多NP难的问题，你用一些近似算法或随机算法都可以将其松弛为P问题，例如半定规划(Semi-definite programming, SDP)，可以该算法对NP难的MAX-CUT问题给出 0.87 近似，这在理论计算机领域是十分知名的。那么你这个算法究竟近似得效果如何？这当然需要通过不等式来衡量。依然是以SDP为例，它的很多近似结论可以由Grothendieck不等式导出。

如果以高中生比较熟悉的不等式为例，可以举这样一个例子：给定随机变量序列 满足 是独立同分布的Bernoulli随机变量(即 )，那么 的分布满足什么性质呢？这就可以如下考虑其尾重概率：

由马尔科夫不等式，得到 ，可以通过一些方法证明分子的上界，而后优化 ，最终得到 称为Hoeffding不等式。这样我们就可以给出一些算法的精度究竟如何。

我们看到：在这个过程中，对于高中生来说更容易见到的马尔科夫不等式（其实似乎也不容易见到），其实是作为工具来导出我们想要的数学对象的性质的，其本身并不是目的。只是最终数学对象(该算法)的性质(近似精度)是可以被不等式表达的(事实上也没有办法用等式)，于是我们用这些不等式来作为工具得到最终的结果。

当然也有不等式本身就是目的 的情形，比如上述Hoeffding不等式也可以推广到非独立同分布的鞅情形，称为Azuma不等式，可以研究一类不等式最紧可以到什么地步？常数能是多少？这就比较类似于高中竞赛那种不等式放缩了，也是很有技巧的（当然不是竞赛的那种技巧）。再比如Sobolev嵌入的系数，在某些情形下似乎是有用的？（然而我并没有见过具体的使用这个系数的……）

计算机的例子比较应用，下面举纯数学的例子。

在巴拿赫空间理论中有一个伟大的理论称为Rademacher Type理论，它是用不等式定义的概念。巴拿赫空间是一种“元素具有长度概念”的空间（且满足其他性质，对于高中生只需要知道这种空间中的元素具有“长度”这一属性即可，元素 的长度记作 ）。那么可以定义Rademacher Type：

若对于某些 ，存在常数 使得对于巴拿赫空间 中的任意向量组成的有限集合 成立有：

则使得上式成立的最小 记作 就称为巴拿赫空间 的Rademacher Type。其中 是独立同分布的Bernoulli随机变量。

在这个例子中，不等式是作为定义数学概念的工具，更深一层的：为什么要给一个巴拿赫空间提出一个“指标”？事实上是用不等式来使得某种不等式关系能够成立，这种不等式关系反映了数学研究对象(巴拿赫空间)的基本性质，用这个不等式，就可以“用数学表达式来刻画”这种性质，用来进行该巴拿赫空间的其他性质的研究。

以上是不等式的作用（应该是不全面的）。回到题主所说的几个具体的不等式。

切比雪夫不等式的本质是概率测度尾重与矩(范数)的关系，事实上在概率中基本上都是用尾重来做的，因为只要谈“尾重”(测度)，那就有随机性；而谈矩(数学期望/范数)，那就是确定的，我们还是更愿意谈论尾重，毕竟可以通过尾重，用马尔科夫/切比雪夫导出矩的性质（也就是说讨论尾重就暗含了矩的性质）。该不等式主要还是作为工具使用比较多。例如次高斯分布，是一类概率分布满足

的分布，其中 ，其任意 阶矩都满足 ，其中 表示是不等式成立，但并不关注前面具体的系数是多少(该系数与 相关)。这个性质就是由切比雪夫导出的。

柯西不等式是赫尔德不等式的特例，这在高中竞赛中很常见了，略去不表。

琴生不等式的本质是凸函数的刻画。凸性是一种很基础的性质。集合 若满足对于任意的 以及 且 有 则称 是凸集。例如在欧几里得空间上，凸集就是“没有坑”的几何体，比如球体、方体等。事实上凸集总可以由半空间的交得到(允许无穷多个半空间)。凸集这种数学对象的性质十分美好——你看，任意在凸体上连个线段，这个线段总是依然落在这个凸体内部，而不至于担心走着走着掉出去（比如你在球体中间掏个洞，这就不是凸体了，就很丑；比如你把像年画上娃娃的脸一样圆润饱满的玉石磕了个豁儿，那岂不是很丑？所以滴滴饱满的凸体还是性质好一些的）。有了数学对象，自然要考虑数学对象之间的变换，我们研究性质足够好的变换，什么叫性质好？这就引出了凸函数，而琴生不等式

正是用来刻画这种性质较好的变换的。这类似于我上面举的巴拿赫空间的Rademacher Type中不等式的用途，似乎如果使用琴生不等式来证明上面的观点更容易被高中生接收欸（但是我上面都打了一堆了懒得删）。

希望对于高中生有所帮助。如有typo或者gap请轻拍。上文中的英文皆是不知道怎么翻译。