x=a，a为常数，这个图像是连续的吗？ 第1页

谢邀，这个问题其实不蠢，而且我觉得大部分数学本科生大概也不知道这个东西。研究这种一对多的分析学叫“多值分析”，在这个门类定义下这个“函数“是上半连续的 而且这类是最典型的上半连续。请和一般意义上的单值泛函的上（下）半连续区别开，这两者名字一样，但是不是一回事。上半连续多值映射是非常重要的一类映射，K. Deimling的教材管它叫multi而不是mapping，我这里偷懒一下，就叫映射了。( @Richard Xu 提醒到搞经济学的管这个叫correspondence）

这种映射在博弈论中具有非常基础的的作用，因为一个鞍点问题可以转化为一个多值映射的不动点问题。 上半连续性可以保证一类不动点成立。比如，下面的Brouwer不动点定理的多值推广(Kakutani fixed-point theorem)：

设 是 中的有界凸闭集，而映射 是一个上半连续，而且对于任意 , 是非空凸闭集，那么它有一个不动点 。

对于一个多值映射 , 对于此类多值映射，我们首先定义如下的原像：

然后我们可以如下定义上（下）半连续性

有些教材用hemicontinuous而不是用semicontinuous 来表示多值映射的“半连续“。

再重复一次，上半连续(u.s.c.) 是这样定义的， 对于任意闭集 , 是一个闭集。 如果这个映射是但值的，那么我们可以发现上（下）半连续就是连续。 对于上半连续，我们有下面的等价刻画：

你给的例子，是上半连续而不是下半连续的，也有下半连续，但是非上半连续的例子。比如

上半连续还可以通过 语言刻画，如果 是紧的，那么它等价于下面的刻画：设 , 对于任意 , 存在 使得

成立。

另一个等价刻画是这样的

事实上，类似于 的多值映射是典型的上半连续函数，这这个例子中你可以认为 , .

PS: 题主说自己的教授是做博弈的，那么他知道这种连续性是不奇怪的，这是他吃饭的家伙。当然了，大部分学过非线性泛函分析的人都应该知道这种映射。