数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法？ 第1页

PROBLEM:prove that:

exist Infinitely many irrational number is a rational number

存在无穷多个无理数a，b使得 是有理数。

事实上，在平面直角坐标系上（a，b）稠密。

想到了吗，提示一下，是很初等的

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提示：想想初二学的基本运算定理再构造

证明：取

取 为有理数，但 是无理数，同理，取 为有理数，但 是无理数

则 是有理数

若， 是有理数，取 bingo!

若， 是无理数，取 ，也bingo！

由于x，y的取值，故（a，b）在平面坐标系是稠密的。

推广：试问，这样一个相同的构造，原来的结论还正确还正确吗？

说一个意料之外但情理之中的构造，构造Bernoulli随机变量证明Weierstrass一致逼近定理：闭区间上的连续函数可用多项式一致逼近。

这里只证[0,1]闭区间，记为 ，设 是 上的连续函数，令：

，也就是Bernstein多项式，下证 一致逼近 :

， 考虑独立的Bernoulli随机变量序列 满足：

由于任意分布都有无穷个独立的复制，所以这样的随机变量存在。令 , 则 是多项分布，满足

所以 其实是一个期望，即 , 因而有如下估计：

由于 f一致连续，所以 任意小时，第三行那一项也可以任意小。再由Chebyshev不等式：

最后注意到 , 则n足够大时，第二项也可以任意小。这样就证明了B_n一致逼近f。