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使用容斥原理的时候发现这个恒等式,如何证明? 第1页

  

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记​ 则有:​

法一:(讲故事法)

将t个不同的小球放进k个不同的盒子里,要求每个盒子至少放1个,求方法数

由于t<k,因此这是不可能做到的,所以方法数为0种

又由容斥原理知总方法数为:

因此 ​ 证毕!

法二:(求导)

我们熟知二项式定理: ​ 记该等式为​

对​两边同时求导得:​

再两边同时乘以​ 得:​ 记该等式为​

对​ 做同样的操作(两边求导后再乘x)得到 ​,以此类推,得到​

我们易知:​ (​ )右侧为​

又因为​ 左侧为​ 因此​ ​(​ )左侧含因式​

故我们在​ 中取 ​得到:​

证毕!

法三:(母函数)

我们熟知: ​

其中 ​表示 ​中 ​项的系数

则​ 时我们有:

证毕!

法四:(差分)(本题的本质)

注意到: ​ (因为 ​)

所以 证毕!




  

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