加法交换律 a＋b＝b＋a 是怎么证明的？ 第1页

这个问题比较复杂，需要牵扯到自然数的定义，我们一步步来。

一、自然数的定义和Peano公理

所谓自然数，就是从从人类的计数中抽象出来的东西。我们可以用Peano公理作为自然数集 的定义。

Peano公理
公理1：0是自然数。
公理2：对于每一个自然数 ,都有唯一的后继数 ,且 也是自然数。
公理3：0不是任何自然数的后继数。
公理4：不相等的自然数的后继数也不相等。
公理5：如果一个集合 ，满足 ,且若 ,则 , 则 。

我们来逐条解释每条公理的作用。公理1给出了计数的起点，公理2告诉我们每一个自然数的下一个数是什么，一般地，我们定义 ，公理3和公理4保证了计数的过程不会发生循环。到这里我们似乎已经把自然数的全部特征都包含了，那公理5的作用是什么呢？事实上，公理5保证所有自然数都可以由0通过不断取后继数的操作得到，换句话说，自然数除了0,1,2,3,...以外没有其他的东西。公理5也保证了数学归纳法的正确性，因此也成为归纳公理。

二、自然数的加法定义

定义（自然数的加法运算）
设 ,定义 ,如果已经定义了 ,则定义 。根据Peano公理，我们定义了一个自然数集的二元运算。

根据自然数加法的定义，我们可以证明以下两个性质。

性质1（加法结合律）：

证明：对 做数学归纳法，注意到 .当 时， . 若当 时成立，则

性质2（加法交换律）： .

证明：对 做数学归纳法。当 时，我们可以归纳地证明 . 同理可证 .若当 时成立，则

性质3（消去律）： ,若 ,则 .

证明：对 做数学归纳法。

三、整数

定义（群和半群）
设 是一个非空集合，有二元运算 （通常写成乘法的形式），若满足
1、 .（结合律）
2、 （单位元）
3、 （逆元）
此时称 是一个群。如果只满足第一条，则称 是一个半群。

根据第二节的性质，我们发现自然数集在加法运算下，只满足第一条和第二条，所以此时自然数集只是一个半群，因此我们希望扩充成一个群，此时加法就成为一个可逆的运算。因为单位元和逆元都是唯一的，因此0的逆元就是0，规定自然数 的逆元（相反数）为 ，即 ,我们把全体自然数及其逆元放在一起成为集合 ,称为整数集， 中的元素称为负整数。

对于非零自然数 规定：若 ,则 ，根据公理4, 是唯一的 。

规定 的后继数是 ,仿照自然数的加法，可以归纳地定义整数与自然数的加法 ，整数与负数的加法可以定义为 .

性质4（加法结合律）

证明：不妨假设 ，仿照自然数的情形，用归纳法证明。

类似地，我们也可以证明交换律。

性质5（加法交换律）：.

此时，整数集在加法下形成了Abel群（满足加法交换律）。

四、乘法与有理数

定义（整数的乘法）
设 ,定义： ,若已经定义 ,则定义 , 此时我们定义了整数与自然数的乘法，规定 .

运用归纳法，我们可以证明乘法对加法的分配律、乘法结合律、乘法交换律.

此时我们发现有理数的加法、乘法也是满足分配律、结合律、交换律的。（关于有理数的构造我们就不多说了）

五、实数和复数

任何一个实数都是一个有理数列的极限，根据极限的性质，有理数加法、乘法的性质都可以推广到实数上去。再根据复数加法和乘法的定义可知，复数加法、乘法同样满足。