泊松换元公式有直接用二重积分换元而不变为曲面积分的方法吗？ 第1页

出现了“学有余力的叶同学” :-)

【2020年11月26日更新】

之前，试着用换元的方法求了，也写了一部分公式。但很遗憾的是，笔者没有解决交换积分区间的问题，而求解过程敲成公式后又不舍得扔，故想发出来，希望能为知友们提供一些思路。

【2020年12月4日更新】

笔者得出如下三条积分公式，但是证明过程中重积分上下限的确定是依赖计算机验证给出的。尽管没有想好如何确定上下限，至少找到了一个方向。

.

传统重积分计算讲究“化劲——变化的劲道”（误

1. 将重积分拆开

其中， , .

发现消不掉 ，因此考虑 在 到 而 在 到 上的二重积分。

因此，将该二重积分拆成了三个二重积分

【注】为了方便敲公式，将 换为 ，将 换为 .

上述过程利用到「辅助角公式」（并注意上式假定 ）

2. 作变量替换

令 ，则

记

因为需要保证积分区域一对一映射，则将 的积分区域拆成多段来讨论。

① 当 ，则 ，即 ；

② 当 ，则 ，即 ；

③ 当 ，则 ，即 .

【注】上述区间为有向区间 .

因此

其中应用了如下变换

3. 计算 I₁

3.1 代入化简

利用关于 的变量替换，可得

3.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间，

进行区间拆分可得 ，并给出一些简记符号

记

与

值得注意的是，变量 的范围不再是0到(π/2)了。

再确定变量的范围

注意，范围不是通过不等式变形得到的，而是直接带端点值得到的

记 ，并给出端点值

因此

4. 计算 I₂

4.1 代入化简

利用关于 的变量替换，可得

4.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间，

进行区间拆分可得 ，并给出一些简记符号

记

也给出端点值

因此

5. 计算 I₃

5.1 代入化简

利用关于 的变量替换，可得

5.2 交换顺序

为了确定出二重积分 交换积分顺序后的积分区间，

进行区间拆分可得 ，并给出一些简记符号

因此

.

5. 合体

将所得公式相加，有

完结撒花！

总算告一段落了，但是需要注意的是，最初我们利用辅助角公式汉化简时作出了一些假定。

比如假定 .