如何正确理解群论中的同态基本定理？ 第1页

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为了全面地认识这个定理，我们有必要先从群同态讲起： 若f是到的群同态（group homomorphism），则对于所有的均有：

若f是双射（bijection），则称群G和H同构（isomorphic）即。 由于一个f是双射当且仅当f同时是单射（injection）和满射（surjection），所以我们可以先来研究一下f的性质。

为了便于后续的推导，让分别表示G和H的幺元（identity element）。

单射与核

f由于是单射当且仅当对于所有的有。此时使用消去律可得：

而事实上当f不是单射且时该式依然成立，因此我们把G内所有能被映射到的元素集合成为它的核（kernel）：

因此f是单射当且仅当。

核的性质

即使G的核不是，我们也能够通过从G构造一个新群来构造单射。但在此之前，我们有必要先研究研究的代数性质：

• 对于所有的均有，所以是运算封闭的。
• 因为的运算继承了所以上的运算满足结合律
• 由于，所以存在幺元。
• 对于，有，所以也是关于元素求逆运算封闭的。

至此，我们得知，即G的核是G的子群。事实上，对于所有的和均有：

因此，即G的核是G的正规子群。

把核商掉

由于，我们可以用它来构造商群。同样地，我们可以在f的基础上定义一个新的映射使得对于每一个陪集均有

通过商群的性质易知是群同态。现在假如则：

因为是满射，我们便得到：

又根据的陪集就是对的划分，有。综上所述，我们便得到了群同态基本定理：

总而言之，以群同态为起始点，通过研究它是否单射我们发现了群的核；通过研究核的性质我们构造了商群；最后利用商群的性质我们发现可以在商群上建立同构映射。于是，群同态基本定理就被发现了。