有哪些一看就会，一做就错的数学题？ 第1页

半径 1 : 2，大圆静止，小圆在大圆外侧上滚动（无滑动）.

问：当小圆回到初始位置时，小圆自转了几周？（以地面为参考系，这个一般是默认的吧）

（下滑见答案）

答案：3周。

可能大家看了动图依然没看出是哪三圈，判断方法见上图下标的温馨提示.

严格的证明是利用微分几何中的旋转指标定理，但是利用初中所学的外角定理，就可以给出一个很直观的解释.

让我们考虑特殊的情况.

小圆在凸多边形外围滚动，当遇到到角的时候，情形如下动图

我们会发现小圆自转的角度（蓝色线段的夹角）恰好是这个黑色角的补角，同时相对于这个角的两边而言，没有走过一点点路程（也就是说，路程并不能体现出角度的所有变化）. 那么对于凸多边形而言，外角和刚好是 ，所以小圆沿凸多边形外侧无滑动滚动一周后，自转的周数为

其中 是多边形的周长与小圆周长之比. 最后，我们只要令正多边形的边数趋于无穷，那么最后得到的就是圆. 这就解释了原问题为什么答案是三圈.

留个思考题给读者吧（其实我是懒得写了）：我们把原题改一下，如果让小圆在大圆内部滚动，小圆自转了几圈呢？

以上图都是本人自制的，大家随便用。

查阅了马尔契夫《理论力学》（高等教育出版社俄罗斯教材选译），还有物理的证明方法（利用瞬时速度中心），原本打算写出来，但是有网友在评论区说明了。我推荐了其中一位 @燃烧的德米扬斯克 的精彩评论。其他网友的评论也很好，但是有的我看不懂，或者直接抛出二、三级结论，这不是我想要的。

物理证明很妙，不过请原谅我对数学的偏心，毕竟我给出的说明只用到了初中一年级的知识（外角和定理）. 还有题目是“一做就错的数学题”，各位用物理回答，这说明了“一做就错”的原因是：原来它不是数学题，而是物理题？（冷幽默献给大家~）

为什么小圆在大圆内滚动会比直觉少一圈？我们还是使用多边形分析法.

单位圆在一个正多边形内无摩擦滚动，两条切线长 和 并没有参与到滚动中来，我们把这样的切线长全部加起来.

先计算切线长 ，在 中，，

那么将这些切线长相加再除以小圆的周长，就是小圆损失的滚动圈数 ：

因为是正多边形，所以内角 是内角和的 ：

将该关系代入到 的表达式中

当 趋于无穷时，由重要极限可知

也即是说，当正多边形越来越趋近与大圆时，小圆在其内部滚动，小圆所转的圈数要损失 圈.