如何解决这个图的特征值问题？ 第1页
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定理. 设 是连通图，最大顶点度数是 ，邻接矩阵 的最小特征值是 。那么 当且仅当 是每个顶点度数都是 的二部图。
证明. 设 是 对应的特征向量，设 ，那么 ，所以 。
如果 是二部图 ，每个顶点度数都是 ，那么 ， ，其中 是 矩阵。令 ，其中 是 个 1 的向量，那么 ，所以 。
反过来，如果 ，那么 ，所以对每个 都有 。同理，对每个 都有 。归纳可得对每个顶点 都有 ，并且 当且仅当 。设 、 ，那么 是二部图。因为 ，所以每个顶点度数都是 。
xu-jing-ye-82 网友的相关建议:
因为G是一个二部图。图存在如下partition
其中
让
有
这说明 -d是的特征值.
同时因为diagonal dominate， (A + d I) 是半正定 说明-d是的最小特征值.
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