请问这个一阶逻辑等值式如何理解，请举一个现实的例子? 第1页

我接下来的解释题主一定能看明白。

探讨的前提是，题主完全能够理解并认可：在命题p→q中，p若为假，则不论q的真假，该命题为真。这是我们的约定前提。

注：我相信题主是听说过所谓“实质蕴涵怪论”的，这是另一个比较初级的问题，由于现在探讨的是一阶量词逻辑，故该问题这里不展开。题主只要知道，“如果……那么……”这样的自然语言所包含的内涵过于丰富，不能完全对应p→q，而我们的探讨则建立在“如果p，那么q”的意思与“p→q”完全一致的假设下，这是考虑到题主的要求：用日常语言来理解∀xP(x)→Q⇔∃x（P(x)→Q）。

下面正文开始。

一

首先看题主的例句一：

"如果所有人都是善良的，那么就会世界和平"。

现在将所有人分为2种情况：要么x善良，要么x不善良，其中x代表具体的某个人，例如题主。同时，世界要么和平，要么不和平。这样，单看任何一个x，他和这个世界的关系构成4种可能组合：

1. x善良，世界和平
2. x善良，世界不和平
3. x不善良，世界和平
4. x不善良，世界不和平

而我是一个外星来客，我带来了一种检测设备，让某个x通过该设备后，就会有1~4号灯中的其中一盏亮起来，分别对应以上四种情况。例如，让题主现在通过设备，由于题主是善良的，现在世界是和平的，故1号灯亮起。

现在考虑世界上的所有人，有三种可能：情况①：都是善良的，情况②：部分善良部分不善良的，情况③：都不是善良的。我现在让所有地球人都通过测试设备。

情况①：都是善良的

如果所有x都是善良的，那么如果例句一为真，世界和平则不能为假。测试时，只有1号灯一直闪烁。

情况②：部分善良部分不善良的

如果是部分x善良、部分x不善良的，即“所有人都是善良的”为假，那么世界有可能和平，也有可能不和平。为什么会得出这个结论呢？这里我要再啰嗦一遍咱们的约定前提了：根据实质蕴涵的定义，命题p→q中，若p为假，则不论q的真假，该命题为真。

世界和平，对应1、3组合。测试时，时而1号灯闪烁，时而3号灯闪烁。

世界不和平，对应2、4组合。测试时，时而2号灯闪烁，时而4号灯闪烁。

情况③：都不是善良的

如果所有x全都不是善良的，那么世界的和平与否都不会影响例句一为真。即第3、4组合都可以单独成立。我想我不必再强调一下咱们的约定前提了吧。

世界和平，测试时，只有3号灯一直闪烁。

世界不和平，测试时，只有4号灯一直闪烁。

总结一下测试结果：

1. 1号灯一直闪烁
2. 1号灯、3号灯闪烁
3. 2号灯、4号灯闪烁
4. 3号灯一直闪烁
5. 4号灯一直闪烁

再看题主例句二：

"存在一些人，如果他们是善良的，那么世界就会和平"。

检验一下上述闪灯情况，看看例句二是真是假：

1号灯一直闪烁⇒例句二为真

1号灯、3号灯闪烁⇒例句二为真

头两行没问题，因为只要1号灯哪怕闪一下，就意味着存在某个x是善良的，并且世界和平。

2号灯、4号灯闪烁⇒例句二为真

3号灯一直闪烁⇒例句二为真

4号灯一直闪烁⇒例句二为真

后三行涉及实质蕴涵的定义。根据我们的约定前提，只要3号或4号灯哪怕闪一下，就可以说，"存在一些人，如果他们是善良的，那么世界就会和平"为真。

注：实在想不通的话，可以换个角度："存在一些人，如果他们是善良的，那么世界就会和平"这句话什么时候为假呢？那就是："对于所有人，他们是善良的，并且世界不和平"。这意味着，测试过程中，只有2号灯一直闪烁。那么我们就可以反过来说，如果没有出现2号灯一直闪烁的情况，这句话就为真。现在题主应该理解了这句话的意思：只要1、3、4号灯哪怕闪一下，例句二就为真。

好了，既然以上5行闪灯情况都通过了检验，我们就证明了：例句一 ⇒ 例句二。

即：∀xP(x)→Q⇒∃x（P(x)→Q）。

二

现在再倒过来推一遍。

假设题主例句二为真："存在一些人，如果他们是善良的，那么世界就会和平"。

想像抓住一个地球人x，他只要让我们的1号灯、3号灯、4号灯亮了，都证明存在这样的人，也就是说例句二是真的。

现在将世界上的所有人一个一个拿来检验。灯的设置同上。此时仍然会发现只有如下5种组合：

1. 1号灯一直闪烁
2. 1号灯、3号灯闪烁
3. 2号灯、4号灯闪烁
4. 3号灯一直闪烁
5. 4号灯一直闪烁

第1行就对应了例句一："如果所有人都是善良的，那么就会世界和平"。

后面4行都说明了一件事：“所有人都是善良的”为假。根据我们的约定前提，例句一为真。

我们又证明了：例句二 ⇒ 例句一。

即：∃x（P(x)→Q）⇒∀xP(x)→Q。

这样，我们就最终证明了：∀xP(x)→Q⇔∃x（P(x)→Q）。

附

以上的说明，纯粹是为了让题主形象的理解，情况陈列的比较细致。实际上，如果用符号推理，就简明的多了。推理过程如下：

∀xP(x)→Q

⇔┐∀xP(x)∨Q

⇔∃x┐P(x)∨Q

⇔∃x（┐P(x)∨Q）

⇔∃x（P(x)→Q）

注意：如何理解上面推理的第四行？

答：Q并不受x约束，因此上面推理过程中写到第三行∃x┐P(x)∨Q时，可以直接将括号括起来变成第四行∃x（┐P(x)∨Q）。