设待比较的两非空集合为 与 ,空集无需讨论.以 的子集 为 的某子集 的指标集,若存在,则记为:
显然有单射
则由这样的集合构成的集族记为 ,于是对任意上升的链 都有上界 ,相对应地有 有上界 ,则由 Zorn 引理,分别存在极大元 和 :