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所有集合的势都可比较大小吗?为什么? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

设待比较的两非空集合为 与 ,空集无需讨论.
以 的子集 为 的某子集 的指标集,若存在,则记为:

显然有单射


则由这样的集合构成的集族记为 ,于是对任意上升的链 都有上界 ,相对应地有 有上界 ,则由 Zorn 引理,分别存在极大元 和 :

  • 当 ,则存在满射 , , 为常值映射;
  • 当 ,则必有 ,故存在单射 . 否则,若 ,但 ,则分别选取 , ,且令 ,于是存在比极大元 和 的更大的集合 与 满足: ,这与极大元的定义矛盾.



  

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