单位圆上n等分点按不同顺序顺次连接，能连接出多少种图形？ 第1页

梳理问题

用数字表示各点（就像表盘一样），那么我们用一个数组就可以表示一幅图：相邻的数字表示对应的点相连。例如

并且我们发现，若对该图施以置换

图 与图 是没有区别的。但若施以置换

这提示我们，这个问题实际上要求我们研究对称群 在某种等价关系下的商集。

定义

• 若两个图 有如下关系

则 ，这是因为一个无向圈的起点、方向是任意的。

所以当我们讨论某一图时，实际上说的是一个等价类，或者说代表元。

• ，这个图是一个简单圈，我们把它叫做基本图。
• 表示本题所求。

分析

正方形共有8个对称变换，其中有4个旋转变换，4个轴对称变换，这也就是说图 在以下置换中不变。

事实上 是 的子群——二面体群。而其余置换则会改变图形原先的连接方式，于是形成了新的图，前文我们验证了 就是这样的置换。接下来我们从“生成元”的角度去看待这个问题：先找到几个基本生成元，然后再交给 去变换，得到的置换与对应的生成元等价，从而穷尽 ，这样我们的考虑就完全。

经计算，只需考虑的 三个陪集有以下关系，即

可见需要考虑的图无非以下3种：

而后两者却有如下关系

所以只有两类图

通过上面的分析，对于更一般的 的解题流程：

1. 确定 的二面体群 ；
2. 确定商集 ；
3. 确定商集 ， 是某种等价关系，这个关系非常复杂，是由于商集中某些元素自身的高度对称性而带来的重复，这一点我在后文详谈。

于是得到图形总个数：

定理1

关于具体的计算，我们有——

引理2（Lagrange）

是 的子群，则

是 关于 的陪集个数

进而可以得到一个粗略的估计：

定理3

证：上界由定理1、引理2可得

即忽略了 的影响

于是由定理3可知

这个上界是大了点……

这个重点分析，留到以后。