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为什么正方体有十一种展开图? 第1页

  

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分析

一骰子如上图左;每个面都与四个面相邻(共边),与对面不相邻,如上图右(每个面抽象为一点)。

想要得到立方体展开图,等价于求右图的支撑树的种类,本质上就是求“同分异构”。

需要注意的是下面两点:

  • 为不相邻偶对(废话!对面!),同理还有 , 。
  • 对立方体的各个面进行简单的分类:将圈 称为侧面, 和 称为底面。类似的划分底面与侧面的方式还有很多,但是它们都是等价的,所以我们只讨论一种就行了。

接下来我们的任务就是将侧面展开,并且将底面适当地安置在侧面上。

考虑正丁烷的取代:考虑两个方向的对称,分为 、 位于红色镜面(如下图)同侧与异侧两小类(每一小类分为三种情况)——


第二类

考虑丙烷的取代:

与 相连, 与 相连,两者是等价的,我们只考虑前者即可。


第三类

考虑乙烷(已完)的取代:

这是最后一种情况,

总结

11 种情况——



这个分析过程比较初等,高中生都看得懂,不过如果用代数图论的知识分析也许更严谨。

正方体11种展开图严格证明 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 zhuanlan.zhihu.com/p/44




  

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