为什么任给一个圆，它的圆周长和直径比值都是常数？ 第1页

这是平直的欧氏空间上的性质，如果不是欧氏几何，比如说球面上，一般就不成立，比如纬线圈长度和到北极距离（注意球面上只能用球面距离）就不成比例。

欧氏空间主要有以下性质：

1. 它是一个线性空间，而且原点可以任意选择（也叫做仿射空间），也就是说任意图形都可以平移、旋转、缩放而仍然在空间内

2. 它是一个内积空间，长度定义为内积的平方根，而内积有双线性性质，意味着旋转时长度不变，缩放时长度按比例增加（整体平移时向量本身是不变的）；内积也定义了角度，因而平移、旋转、缩放时角度不变。

这些性质在欧氏几何中作为公理和公设出现，在线性代数中则认为是代数结构的性质。

有这些基础之后可以定义更广泛的相似性：

对于点集A，如果存在仿射变化f，将A中每个点经过f变化，得到的新点集恰好为A'，则称A'与A相似。根据前面的性质，相似的两个图形，直线仍然对应直线，角度不变，距离则成固定比例。

由于仿射变化是可以复合的，因此通过多个平移、旋转、缩放之后重合也是一样的。

接下来证明任意两个圆都是相似的，我们可以将圆和圆心一起做变化，只需要仿照其它答主的方法：首先将圆心平移到重合的位置，然后以圆心为原点按半径比例缩放，则圆周上点到圆心的距离仍然相等，得到了一个新的圆，很容易证明两个圆现在完全重合。

既然任意两个圆都相似，那么最后一个问题是考虑周长的问题了，首先需要定义周长，我们一般定义曲线长度为内接折线长度的上确界，对于圆来说，就是内接简单多边形的周长的上确界了；那么不难发现，设相似变换为f，则第一个圆上的任意内接简单多边形，经过f变换，都得到第二个圆上的一个对应的、相似的内接简单多边形，因而多边形周长成固定比例；因为f可逆，因此反过来也有同样的对应关系。因为每个元素都相应成比例，那么运用与常数乘积的极限性质，整体的上确界也相应成比例了，因而圆的周长的比例也是相似比。很容易发现这一点可以推广到任意曲线上。

既然周长和半径（直径）都相应成比例，那么周长和直径的比值自然就是固定值了。

大家都提到了相似关系，实际上用位似说明就更具有说服力了。

将两个圆圆心重合，从圆心发射任意一条射线，分别被大圆与小圆所截（得到两圆半径），由圆的定义，同圆的半径相等，半径之比显然永远都是同一常数 。

以上符合位似定义：

已知两个几何图形A和A'，若二者之间存在一个一一对应，且每一双对应点P和P'都与一定点O共线，同时OP/OP'=k（k>0是常数），则称A和A'位似，而点O叫做位似中心，k是位似比。

由位似的性质，于是周长之比 为位似比 ，直径之比 为位似比 ，

即任意圆的圆周长与直径之比恒为常数，故称之为圆周率。