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所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。

正方形被其一条边长x所决定,其中,

x∈R

同理矩形被长y与宽x所决定,其中,

(x,y)∈R₊²

那么接下来只需比较R₊与R₊² 的势。


这个证明的关键是证明[0,1] ~ [0,1]x[0,1]即可。我简要说明一下:


命题 [0,1] ~ [0,1]x[0,1]

证明:

[0,1]内的数都可以表示为二进制,如

a=(0.10101010...)₂

我们可以将a的小数序列的奇数位与偶数位分别择出

x=(0.1111...)₂

y=(0.0000...)₂

这样我们就获得一个二元数组(x,y),很明显,x与y都介于0~1之间,故(x,y)是单位正方形中的点。

反过来也一样,任取单位正方形中的点P(x,y)的横、纵坐标分别作为a小数的奇数位和偶数位。

于是这就形成了[0,1]与[0,1]x[0,1]之间的双射

Q.E.D


从测度或者概率的角度看,得到一个正方形的概率比得到一个矩形概率明显更低。

设概率全空间Ω=[0,1]x[0,1],二元随机变量(x,y)分别表示矩形的宽与长。只有当x=y的时候,这时矩形才退化为正方形。从几何的角度看,x=y的点仅是单位正方形的对角线,测度为0,也就是说,从全空间获得的矩形几乎不是正方形。




  

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