「圆周率＝4」这个说法是否真实？ 第1页

打开百度，输入“美国法律 圆周率”，然后你就会惊讶地发现，“在印第安纳州，圆周率法定为4”

显然，任何一个上过小学的人都会告诉你，圆周率的值是3.14而非4——考虑到现在九年义务教育已经普及，那么你肯定知道圆周率其实是个无理数。那么美国人民究竟出了什么问题，要立法确定圆周率的值为4呢？

这事要从100多年前说起。

1897年的2月，印第安纳州众议院的秘书将一份《印第安纳众议院第二百四十六条法案》的特别文件呈送到了议长的案头。这是一份极其特殊的法案，因为它还有一个别名，叫做《印第安纳圆周率法案》。这份法案全文如下：

ENGROSSED HOUSE BILL No. 246

A Bill for an act introducing a new mathematical truth and offered as a contribution to education to be used only by the State of Indiana free of cost by paying any royalties whatever on the same, provided it is accepted and adopted by the official action of the Legislature of 1897.
Section 1
Be it enacted by the General Assembly of the State of Indiana: It has been found that a circular area is to the square on a line equal to the quadrant of the circumference, as the area of an equilateral rectangle is to the square on one side. The diameter employed as the linear unit according to the present rule in computing the circle's area is entirely wrong, as it represents the circle's area one and one-fifth times the area of a square whose perimeter is equal to the circumference of the circle. This is because one fifth of the diameter fails to be represented four times in the circle's circumference. For example: if we multiply the perimeter of a square by one-fourth of any line one-fifth greater than one side, we can in like manner make the square's area to appear one-fifth greater than the fact, as is done by taking the diameter for the linear unit instead of the quadrant of the circle's circumference.
Section 2
It is impossible to compute the area of a circle on the diameter as the linear unit without trespassing upon the area outside of the circle to the extent of including one-fifth more area than is contained within the circle's circumference, because the square on the diameter produces the side of a square which equals nine when the arc of ninety degrees equals eight. By taking the quadrant of the circle's circumference for the linear unit, we fulfill the requirements of both quadrature and rectification of the circle's circumference. Furthermore, it has revealed the ratio of the chord and arc of ninety degrees, which is as seven to eight, and also the ratio of the diagonal and one side of a square which is as ten to seven, disclosing the fourth important fact, thatthe ratio of the diameter and circumference is as five-fourths to four; and because of these facts and the further fact that the rule in present use fails to work both ways mathematically, it should be discarded as wholly wanting and misleading in its practical applications.
Section 3
In further proof of the value of the author's proposed contribution to education and offered as a gift to the State of Indiana, is the fact of his solutions of the trisection of the angle, duplication of the cube and quadrature of the circle having been already accepted as contributions to science by the American Mathematical Monthly, the leading exponent of mathematical thought in this country. And be it remembered that these noted problems had been long since given up by scientific bodies as insolvable mysteries and above man's ability to comprehend.

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看不懂？没关系，我来为你翻译一下。这份法案的大意如下：

愚蠢的人类啊，你们一直搞错了圆周率的数值，3.14159神马的，根本就不对！我现在证明出来了圆周率的值应该是3.2，同时我基于这个圆周率还搞出来了用尺规三等分任意角和倍立方体的法子！我的这些个伟大发明已经在美国数学月刊上发表了，所以我现在请求议会立法将圆周率确定为3.2——此外，虽然我已经为我的这些伟大发明申请了专利，但是由于我心系本州教育事业，你们通过了这个法案以后本州可以免费使用这些方法！

印第安纳州众议院的议长瞬间就湿润了，他迅速叫人验证这套说辞是否属实，而手下工作人员非常给力，迅速找来了美国数学月刊，稍一查阅，马上就发现了这个人发表的文章！他说的是真的！

议长激动了，要知道，尺规作图“化圆为方”、“三等分任意角”、“倍立方体”这三大问题可是家喻户晓的古希腊三大几何难题！议长马上决定开会讨论这个议案，这关系到我印第安纳州在科学界的领先地位，切切拖沓不得！

众议院的议员们面对如此高深的法案瞬间也湿润了，有议员提出建议：这么高深的法案，咱们是不是应该交给财经委员会来探讨呢？毕竟他们整天接触数字，比较专业啊！但是另外一个议员否定了这个提议，他认为应该交给教育委员会，毕竟人家这个法案的提出是为了孩子们啊！大家纷纷称善，于是这份法案被提交到教育委员会讨论，教育委员会的委员们开会研究后得出结论——这个法案十分合理，天衣无缝，建议马上投票立法！于是众议院以67票同意，0票反对的表决通过了这份法案。

按照美国的立法程序，这个法案将被提交至参议院进行表决，如果参议院通过的话，只需要州长签字就可以实现立法。而这部法律由于其特殊性（不涉及利益平衡），很可能被顺风顺水的通过。

提出这个霸气侧漏的法案的人名叫Edward J. Goodwin，是一名医生兼数学民科。虽然1830年，法国数学家伽罗华的理论已经能够证明尺规作图完成三等分角等问题是不可能的，但是直到1882年，德国数学家林德曼才证明了圆周率π=3.1415926......是超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以用尺规作图的方式解决化圆为方、三等分角等问题是不可能实现的。而远在美国大陆的Edward同学显然没看过林德曼的论文，他在用自创的方法计算出圆周率等于3.2之后，十分激动的发现什么三等分角啊，倍立方体啊这些问题全都迎刃而解！而他投稿的《美国数学月刊》在这个年代为了鼓励美国本土数学发展，在录用文章时颇有点“不拘一格降人才”的意思，因此虽然编辑发现了他证明中的问题，但是在多次沟通之后还是刊发了他的证明，只是在文章前标注了“Published by the request of the author”的字样。而美国的版权保护法显然不可能阻止他为自己的证明方法申请专利……

于是Edward同学迅速成为了印第安纳州参议院的热门人物，大家以为一个冉冉升起的科学新星马上就要诞生了。而报道了这事的Der Tägliche Telegraph这份报纸又是一份德语报纸，因此在社会上也没能第一时间引起大家的广泛注意，所以眼瞅着印第安纳州立法通过圆周率等于3.2这事就要成了……

在这个关键的时刻，一位数学家的到来，拯救了整个印第安纳议会，令他们不至于成为全美国乃至全世界的笑柄。

这位教授名叫Clarence Abiathar Waldo，乃是普度大学的一名数学教授。他到印第安纳州是为了和参议员们商讨年度拨款事宜的，当参议员们兴冲冲的向他介绍Edward这位数学界的新星时，Waldo哈哈大笑，轻蔑的说道这种货色我在普度门口见的多了，这你们也信？

信啊，我们都准备立法通过圆周率等于3.2了！

啥！！？？你们印第安纳的议员都是白痴么！！

气疯了的Waldo迅速在参议院里开展了一轮科普活动，经过他的教育（或者说嘲讽），大家纷纷明白了过来……

这时候其他报纸也注意到了印第安纳州准备立法确认圆周率等于3.2这事了，全国各地的报纸对这事大加嘲讽，认为印第安纳州议员们的脑子都坏掉了。恼羞成怒的议员们在参议院的会议上驳回了这份法案，声称Edward同学用这种垃圾浪费着参议院宝贵的时间和精力，简直就是要自绝于人民！或许他们已经忘了，就在一个礼拜前，他们还将Edward称为天才来的。虽然事情得到了圆满的解决，印第安纳州的脸面勉强得以保存，但是经过媒体的传播与发酵，很快全世界就都知道这件囧事了。

那么为什么3.2又会变成4呢？这要归功于我国历史悠久之传统读物：《读者》。在1995年的第10期上，读者刊载了这样一篇文章：《圆周率与法律》

       １８９７年，美国印第安纳州议会收到第２４６号法案。法案在很长一段引文后称：“法律应该承认圆周率∏等于４。” 议会的记录将在第２４６号法案中提出武断结论的作者的名字流传了下来，他是埃德温·古特门。古特门称他“顺利解决了过去１００年里最优秀的人才绞尽脑汁也无法解决的问题。” 幸好，法案没有被通过。议员们——有些是法学家认为，法案的表达模糊不清，互相矛盾。否则，在印第安纳州，除“４”之外，任何一个其他的圆周率都将被认为是非法的，会受到惩罚。     

现在看来，这篇文章的作者很显然没有读懂法案的原文，因此在灵魂翻译之后不仅将圆周率发挥为4，更添上了脑补出来的法学家的高深思想。然后这则谣言迅速传开，并在互联网时代得到了二次传播，被整合进了“千奇百怪的美国法律”之中。因此在以讹传讹之后，到了今天，终于变成了你在网上看到的这个样子了。

按照下图的算法，似乎可以算出圆周率 等于4：

这个结论肯定是错误的，这篇文章就来仔细解释下。

1 周长和面积

确实，随着不断弯折，圆外多边形看上去越来越接近圆：

那为什么文章开头的结论是错误的呢？我们需要明白，在这个弯折过程中，圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变：

• 圆外多边形的周长始终保持不变，并没有逼近圆的周长
• 圆外多边形的面积不断逼近圆的面积，所以看上去圆外的多边形看上去越来越接近圆

1.1 周长不变

将圆的右上角放大，可见外接正方形的边无论折成多少个阶梯，只要恰当地平移这些阶梯，就可以还原出之前的正方形（动图出处）：

也就是说，在弯折过程中，圆外多边形的周长始终为4：

更代数一点，可用数列 来表示弯折过程中外面多边形的周长，很明显该数列的极限为：

这是一个常数数列，该数列的极限为4，这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。

1.2 面积逼近

一开始，外接正方形和圆形的面积大概相差4个直角三角形，也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为1，所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为 ，也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差 ：

不断地弯折圆外多边形，可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的，也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小：

这说明圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积。

1.3 科赫雪花

综上，之所以得到错误的结论，是我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的，周长和面积并没有绝对的对应关系。来看一个更极端的例子，像下面动图一样，从边长为 的等边三角形开始，可以生成类似于雪花的图像，也称为科赫雪花：

可以证明，科赫雪花的面积的极限为 ，但周长的极限为无穷大，具体细节可以参考这里。

2 另外一个问题

下面来看一个类似的问题，这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆，在它的圆周上画满相切的圆：

如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分，就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线：

上图中的曲线是由8个圆组成的，当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加，该曲线的周长会持续缩小，但是到一定程度后周长就不再缩小了：

实际上，该曲线的周长会停留在该数值附近，并不会逼近圆的周长。背后到底是什么原因，使得曲线周长没有逼近圆的周长？

3 切线

在微积分中学习过，在一定的条件下， 点附近的曲线可以用切线来近似（这是《单变量微积分》中的内容）：

3.1 曲线的长度

假如要计算曲线在 之间的长度，可以将把 切成 份，对应的曲线也被分成了 份：

因为切线是对曲线的近似，所以可用每个部分的切线段长度来近似每个部分的曲线段：

进一步细分 ，也就是让 变得更大，可以看到近似的效果会越来越好：

当 时，这些切线段的长度加起来就是曲线的长度。

3.2 错误的逼近

回头来看一下，之前的例子是用折线或者曲线去逼近圆形的周长：

而不是用圆形的切线去逼近圆形的周长，这就是得出错误结论的原因。

3.3 为什么是切线

那为什么圆形的切线才能去逼近圆形的周长呢？这个问题可能需要用整个《单变量微积分》课程来回答。这里就简单说一下重点，可以证明，曲线的切线和曲线之间相差一个 无穷小，也就是下图标注的 ：

上述说法反过来也是成立的：

在计算圆形周长的例子中，用来近似圆形周长的折线、曲线，它们只和圆形相差了一个无穷小。这里不去深究具体的代数表达式，只需要知道， 无穷小的意思就是比无穷小还要小。也就是说，圆形的切线是最接近圆形的，因为它们之间相差最小（高阶无穷小）。所以，必须用切线才能成功逼近。